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關鍵詞：高中數學 數列 函數
在高中數學教學中，數列和函數是其中的兩個主要部分。在很多的高考數學題中都常常把數列和函數兩者相結合起來，作為一個考察的重點。很多的學生在這方面就感到很大的困難。在高考中也常常容易出現失分的情況，進而影響到整個數學科目的分數。為了能夠適應數學教學的發展，很多老師也開始加強對數列和函數結合點的數學知識的教學，幫助學生全面提高數學能力。這也是符合了高考數學學科中關注學生對知識點的有機結合的一個改革要求的。在高中數學中數列和函數知識的結合主要是數列中的等差數列與函數知識相結合，等比數列和函數知識相結合以及等差、等比和函數的綜合運用。教師在教學中不斷地總結這類題目的解答規律，把握這類題目的本質。下面從一些具體的數學例題來把握數列和函數這兩者間的聯系。
一、等差數列的知識和函數的聯系
這一類題目的解答的方法都是差不多的，教師在進行這一類題目的詳細解答之后，要幫助學生進行必要的總結，讓學生在面對這一類題目時，不再茫然無措，而是能夠比較熟練地完成題目的要求。
二、等比數列和函數之間的綜合運用問題
基本上，等比數列和函數之間的綜合運用都是按照數列的解題思路來進行的。但是，具體上來說，他們都各自結合了等差數列和等比數列的基本特征。一般來說，教師會采用下面的方式來解答此類題目。基本上了解了這一點，整個等比數列和函數之間的數學問題的解決就是從這個關系出發的。
三、等比、等差數列和函數的綜合關系
只要掌握了它們之間的關系，問題就很容易解決了。因為等差數列、等比數列都是可以看作是函數中的特殊函數。在很多的函數問題的解決中常常要求它們引入到數列的方程中。我們可以從函數的另外一個性質來看，數列其實是可以被看成是一個定義域為正整數的集合。這樣就很容易構建起了數列和函數的關系。下面以一道等差、等比數列和函數綜合的題目來分析這個知識點的結合。
四、結語
在高中數學的教學過程中，綜合題目中的數列和函數有時候還會和其他的方程、向量等問題相結合。但是重要的是教會學生把握這些知識點的內容和他們結合點的知識的聯系，這樣就能夠培養學生的數學聯系思維能力，提升學生的數學思維能力。
參考文獻：
[1]杜洪明.數列與函數綜合的問題分類解析[J].數理化學習（高中版），2009，（7）：2.
在各級各類的招聘考試中，經常出現一些有關數列的填空題或選擇題.給出數列的一些項，讓應聘者通過觀察這些項的規律，填上指定的某一項；或者給出幾個選項，讓應聘者從中選出正確的答案.筆者認為，這類問題雖然可以考察應聘者歸納總結、合情推理等方面的能力，但是，至少存在下面兩個問題值得我們探討：
1 有些數列的規律比較特殊，有偏難偏怪之嫌，應聘者很難在短時間內找到它的規律
例如，有這樣一道題：觀察下面這個數列的前五項，寫出它的第六項：61，52，63，94，46.假如你是應聘者，請你不妨試一試，看看需用多長時間能夠得出答案.命題者給出的答案是18.為什么答案是18呢？理由是這樣的：把這個數列的每一項的個位數字與十位數字對調，前五項成為：16，25，36，49，64，分別是 42，52 ，62，72 ，82 ，按照這個規律，后面一項應該是 92，即81，對調81的個位數字與十位數字，就得到18.這類數學問題，作為茶余飯后的游戲玩玩尚可，如果作為一種正是招聘的試題，那么就顯得不太合適了.雖然這類問題也能考查應聘者的歸納和推理能力，但是，從選拔人才的角度來講，卻不是首選的問題。
筆者查看了近幾年各級公務員招聘的部分試題以及一些模擬試題；也與一些應聘者進行過交談.筆者了解到：試題中所給出的數列的規律比較特殊，往往使一些應聘者望而卻步，從而放棄對這類問題的進一步思考，他們寧愿把有限的考試時間和精力放在解決其它問題上.這樣一來，也就談不上考查歸納總結、合情推理等方面的能力，當然也就失去了這類試題的意義。
2 答案的不唯一性，使這類問題的科學性遭到質疑
對于以選擇題形式給出的問題來說，我們有充足的理由可以說明，幾個備選答案都是正確的；而對于以填空題形式給出的問題來說，我們甚至可以說，填上任何的正整數都是正確的.從這個角度來說，這類試題缺乏科學性，甚至可以說是錯誤的. 也許你對這種說法持懷疑態度，但是，看完下面的討論之后，你就會打消疑慮.
實際上，對于任意的有窮數列，如果只給出有限項，而要求填寫指定的某一項，那么我們都可以構造出類似于公式（1）的數列的通項公式，從而找到符合"規律"的若干個數.
因此我們說，類似于前文所述的招聘考題是不科學的！
下面我們給出2011年與2012年河北省公務員錄用考試中的相關題目，有興趣的讀者可以仿照上面的方法，自己試一試.
2011年河北省公務員錄用考試《行政職業能力測驗試卷》第二部分"數量關系"第一題數字推理：給你一個數列，但其中缺少一項，要求你從四個選項中選出你認為最符合數列排列規律的一項，來填補空缺。
（1） -1，0，1，1，4，（ ）
A.8 B.11 C.25 D.36
（2）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（3）257，178，259，173，261，168，263，（ ）
A.163 B.164 C.178 D.275
（4）2，3，4，9，32，（ ）
A.47 B.83 C.128 D.279
（5）1，1，2，6，24，（ ）
A.48 B.96 C.120 D.122
2012年河北省公務員錄用考試《行政職業能力測驗試卷》第二部分"數量關系"第一題數字推理：給你一個數列，但其中缺少一項，要求你仔細觀察數列的排列規律，然后從四個供選擇的選項中選擇你認為最合理的一項，來填補空缺，使之符合原數列的排列規律。
（1） 0，0，6，24，60，（ ）
A.180 B.196 C.210 D.216
（2）2，3，7，45，2017，（ ）
A.4068271 B.4068273 C.4068275 D.4068277
（3）2，2，3，4，9，32，（ ）
A.129 B.215 C.257 D.283
（4）0，4，16，48，128，（ ）
A.280 B.320 C.350 D.420
（5）0.5，1，2，5，17，107，（ ）
例.[2012年全國高考大綱卷理科數學第（22）題（本小題滿分12分）]函數f（x）=x2-2x-3，定義數列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直線PQn與x軸交點的橫坐標。
（1）證明：2≤xn
（2）求數列{xn}的通項公式。
考查目標：本題考查遞推數列的意義、等比數列的概念、數列的通項公式、數學歸納法的應用，綜合考查考生運用數列知識進行運算求解和推理論證的能力。
試題評價：試題不落俗套，大膽創新，沒有直接給出數列{xn}的遞推關系，而是巧妙地以過兩點P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直線PQn與x軸交點的橫坐標給出{xn}相鄰兩項之間的關系。第（1）問中，要求證明不等式，實際上是證明數列{xn}的增減性和取值范圍，根據題設條件，只能用數學歸納法解決問題。同時，歸納法也為第（2）問求數列{xn}的通項公式奠定了基礎。與以往的求遞推數列的通項公式的試題相比，該題沒有給出輔助數列，對于所求數列的通項完全需要充分發揮考生的主觀能動性，這也是本題一大亮點所在。這是近十年高考數列通項公式的最高要求，看似超出了中學教學要求的范圍，實際上正是新課程改革理念中所倡導的實踐精神和創新意識的體現，這也是專家的匠心獨在。該題對高考選拔高素質的創新人才具有很好的檢測功能。
思考：高考備考不是一朝一夕的事。打好高考這一硬仗，與平時扎實有效的學習是分不開的，十年寒窗，功到自然成。仔細分析今年的高考數列解答題，如果剝去該題的外殼，我們還有似曾相識的感覺，那就是2010年高考全國卷一理科數學最后一道壓軸題：
已知數列{an}中，a1=1，an+1=c-■，a1=1，an+1=c-■。
（1）設c=■，bn=■求數列{bn}的通項公式；
（2）求使不等式an
如果把上邊例題中的第（1）問和第（2）問的設問順序換一下，在解答時就可以按照常規思維，且求數列{xn}的通項公式時考生就可以聯想類比2010年的這道考題，并且可以借鑒其解法做如下變式：
2012年全國高考大綱卷（22）題變式：函數f（x）=x2-2x-3。定義數列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直線PQn與x軸交點的橫坐標。
（1）求數列{xn}的通項公式；
（2）證明：2≤xn
解題思路：（1）先由已知條件得出數列{xn}的相鄰兩項之間的關系，再通過巧妙構造新數列，化歸轉化成我們熟悉的等比數列，進而求出數列{xn}的通項公式。（2）既可以利用第（1）問數列{xn}的通項公式的結論，利用數列的通項公式證明其單調性，確定范圍；也可以應用數學歸納法證明。
解題過程：
解：（1）過兩點P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直線PQn的直線的斜率k=■=■=xn+2
則直線PQn的方程為：y-5=（xn+2）（x-4）
令y=0得：x=4-■，即xn+1=4-■
其中x1=2（n∈N+），從而有xn+1-3=1-■=■
令bn=xn-3，則有■=■=■+1，■+■=5（■+■）
則數列{■+■}是首項為-■，公比為5的等比數列故■+■=-■·5n-1，即■=-■·5n-1
-■，bn=■
所以，數列{xn}的通項公式為xn=3-■
（2）從數列{xn}通項公式出發，證明數列{xn}的單調性，并確定xn及范圍xn+1的范圍。
xn+1-xn=-■+■=
■>0，xn
由xn=3-■及{xn}的單調性知xn≥x1=2
xn+1=3-■，當n+∞時，■0，因此xn+1
綜上有：2≤xn
【關鍵詞】遞推數列;通項公式
數列是高中數學的重要內容之一，雖然在教學大綱中只有12個課時，但是在高考試題卷面中約占總分的8%~11%.由于數列問題最終歸結為對通項公式的研究，故數列通項公式的求解是數列中最基本和最重要的問題，也是高考對數列問題考查的熱點之一.近年的出題形式為先給定數列的初始項和數列通項的遞推關系式，要求解出通項公式.由于求解方法需要靈活的變形技巧，學生遇到此類問題常常感到困難而無從下手.筆者根據自己的教學實踐，以數學高考試題中涉及的數列和平時教學中所遇到的典型的數列為例，總結介紹幾種常見的通項公式的類型和解法，供讀者參考.
類型一 等差型數列:已知a1和an+1-an=f(n)，求an.
解法 使用累加法（即逐項相加法），再使用相關公式進行求解.即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).
讀者可嘗試求解以下三道難度不大的試題：
①（2008天津）已知數列{an}中,a1=1,an+1-an=1[]3n+1(n≥1),則lim[]n+∞an=.
②在數列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1(n≥1),求an.
③（2008江西）在數列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1[]n ,則an=.
類型二 等比型數列:已知a1和an+1[]an=f(n)，求an.
解法 使用累乘法（即逐項相乘法）求解，即an=an[]an-1?an-1[]an-2?…?a3[]a2?a2[]a1?a1(n≥2).
例1 已知a1=1，an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1).求an.
解 由an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1)知an+1[]an=2n-1[]2n+1(n≥1)，故an=2(n-1)-1[]2(n-1)+1?2(n-2)-1[]2(n-2)+1?…?2×2-1[]2×2+1?2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1?2n-5[]2n-3?…?3[]5?1[]3?1=1[]2n-1(n≥1).
類型三 線性遞推數列：已知a1和an+1=pan+q(其中p,q為常數，且pq≠0,p≠1),求an.
解法 使用待定系數法轉化為公比為p的等比數列后再求an，即把原遞推公式轉化為：an+1-k=p(an-k)，可求得k=q[]1-p，再利用換元法轉化為等比數列求解.
例2 （2006重慶）在數列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1)，求an.
解 由an+1=2an+3(n≥1),設an+1-k=2(an-k)，變形得an+1=2an-k，與原式an+1=2an+3對比系數可知k=-3，故an+1+3=2(an+3)(n≥1)，變形為an+1+3[]an+3=2(n≥1)，即數列{an+3}是首項為a1+3，公比為2的等比數列，由等比數列的通項公式可知an+3=(a1+3)?2n-1=2n+1(n≥1)，故an=2n+1-3(n≥1) .
類型四 指數遞推數列：已知a1和an+1=paqn(p,q為常數且p>0,an>0)，求an.
解法 對遞推等式左右兩邊同時取對數后轉化為類型三，再進行求解.
例3 已知數列{an}的各項均為正數且滿足,a1=1,an+1=4a3n(n≥1),求an.
解 由an+1=4a3n對等式左右兩邊同時取常用對數得lgan+1=lg(4a3n)=3lgan+2lg2,令bn=lgan,則bn+1=3bn+2lg2(n≥1)，再使用類型三中的待定系數解法，即可解得bn=(3n-1-1)lg2，即lgan=(3n-1-1)lg2，故an=3n-1-1(n≥1).
類型五 分數遞推數列：已知a1和an+1=pan+r[]an+q(p,q,r為常數且pq≠0)，求an.
解法 （1）當r=0時,兩邊取倒數可求出通項.
例4 （2008陜西）已知數列{an}的首項a1=3[]5,an+1=3an[]2an+1(n≥1),求{an}的通項公式.
解 由an+1=3an[]2an+1,兩邊取倒數，得
1[]an+1=1[]3?1[]an+2[]3.使用待定系數法，得1[]an+1-1=1[]31[]an-1.
故數列1[]an-1是以1[]a1-1為首項,1[]3為公比的等比數列,
1[]an-1=1[]a1-1?1[]3n-1=2?1[]3n,
故an=3n[]3n+2(n≥1).
（2）當r≠0時,可先轉換為上一種問題,即消去分子中的r,再構造成等差或等比數列求解.
例5 在數列{an}中,a1=2,an+1=2an+1[]an+2,求an.
解 用待定系數法,令an+1+α=p(an+α)[]an+2,對比系數法則有p-α=2,pα-2α=1α=1,p=3或α=-1,p=1.當α=-1,p=1時,an+1-1=an-1[]an+2 ,令an-1=b,則有bn+1=bn[]bn+3變成了上一種形式,兩邊取倒數即可求得an+1=2[]3n-2+1(n≥1).
同樣α=1,p=3也可以求出,結果一樣.
類型六 二階遞推數列：已知a1,a2和an+2=pan+1+qan(p,q為常數且pq≠0)，求an.
解法 常用待定系數法將原遞推式化為an+2-αan+1=β(an+1-san)，其中α+β=p,αβ=-q，從而轉化為新數列{an+1-αan}求解.
例6 已知數列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an,求an.
解 可設an+2+α?an+1=β(an+1+α?an)，移項與原遞推關系式對比系數β-α=5,
α?β=-6α=-2,
β=3或α=-3,
β=2.
即an+2-2an+1=3(an+1-2an).……(1)
或an+2-3an+1=2(an+1-3an).…………(2)
由(1)知,數列{an+1-2an}是首項為3,公比為3的等比數列,則an+1-2an=3n.………(3)
由(2)知,數列{an+1-3an}是首項為2,公比為2的等比數列,則an+1-3an=2n.………(4)
由(3)-(4)，得,an=3n-2n.
類型七 混式遞推數列：已知a1和an+1=pan+f(n)(p為常數且p(p-1)≠0）,求an.
解法 常常是兩邊同除以pn+1轉化為等差型數列.
例7 （2008全國改編）在數列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n(n≥1),求{an}的通項公式.
解 由an+1=2an+2n兩邊同除以2n+1，得
an+1[]2n+1=an[]2n+1[]2，
故數列an[]2n是以a1[]21即是1[]2為首項,1[]2為公差的等差數列,
an[]2n=1[]2+(n-1)?1=2n-1[]2,故an=n?2n-1(n≥1).
例8 （2007天津改編）在數列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1(n≥1),求{an}的通項公式.
解 由an+1=4an-3n+1兩邊同除以4n+1，得
an+1[]4n+1=an[]4n+1-3n[]4n+1，令bn=an[]4n ，
則bn+1=bn+1-3n[]4n+1，
移項可得bn+1-bn=1-3n[]4n+1，由此想到等式
一、數列在高職高考中的方向
1.數列在高職高考中的重要性
在中職數學課程體系中，數列是其重要的組成部分之一。而數列的章節內容在高職高考中占有非常重要的地位，歷年來受到了高職高考命題專家的廣泛重視。筆者將2011年以來的數列考題題號做了如下統計。
從上表可以看出，每年考題中數列的分值占到了很大的比重，并且經常以提高試卷區分度的壓軸題形式出現。所以筆者認為，我們在復習迎考的過程中，有必要對此章節做充分的復習。
2.考試的內容
通過觀察近年來廣東的高職高考數列考題，跟考試說明范圍內的知識要求、能力要求、考查要求相一致，堅持了以穩為主、穩中求變、變中求新。客觀題部分主要是加強了對于數列的基礎知識的考查，尤其是等差數列和等比數列的定義、性質以及解題方法，更加凸顯了學生對于數列知識以及能力的掌握程度。主要體現以下幾點：第一，高職高考考查了數列、等差和等比數列的概念。第二，考查了學生對于數列運算能力的掌握，主要是運用數列的概念和公式來求解數列中的一些具體的量。第三，高職高考通過有關數列的命題來考查學生的推理能力。特別是在把關題目中，這些命題不僅考查了學生對于數列公式、性質的基本運用，還考查了學生的歸納、猜想和邏輯思維能力。第四，主要考查了學生對于數列的應用，能夠反映出學生對于數列的實際運用的情況，能夠檢驗出學生的實踐能力以及后續學習能力。
3.考試的要求
首先，高職高考需要學生了解數列的概念、公式以及性質的意義，掌握數列相關量的基本求解方法，掌握運用遞推公式來求出數列的前幾項及通項公式。其次，有關數列的專題要求學生能夠很好的掌握等差數列的概念，能夠完全掌握等差數列中的所有的公式，并能夠通過等差數列的公式來解決專題中的實際問題。最后，數列專題能夠監察出學生對等比數列概念和性質的掌握情況。學生只有在熟練掌握等比數列的相關概念和性質的情況下，才能解決等比數列專題中的問題。
4.命題的特點
近年來高職高考中有關數列的知識點在各種題型都有所涉及，無論從結構、題型還是難度和布局，都保持了相對穩定。當中的數列選擇題和填空題形式多樣且題型新穎，這樣能夠全面地考察出學生對于數列的基礎知識的掌握情況。我們先看下往年的兩個試題：
（2014年第16題）已知等比數列{an}滿足an>0（n∈N*），且a5a7=9，則a6=。
（2013年第19題）已知{an}為等差數列，且a1+a3=8，a2+a4=12，則an=。
以上兩個考題主要是考查學生對數列的基本概念、公式以及性質的掌握情況，應該能正確評價學生的數學基礎知識和基本技能。而像此類問題，我們相信一定還會較多地出現在高考考卷上，這就需要教師在復習時加強這方面的歸納與總結。
而在一些相對把關題目當中，數列的知識往往會和函數、方程和不等式等其他的知識點交叉出現。這種命題的特點不僅能夠體現出數學知識的交匯，還考查了學生對數列知識與其他知識點的綜合運用的能力。
例如：（2015年第12題）在各項為正數為正數的等比數列an中，若a1?a4=13，則log3a2+log3a3=（）
A.-1B.1C.-3D.3
分析：從等比數列的性質可知，a2?a3=a1?a4。所以log3a2+log3a3=log3a2?a3=log3a1?a4=log313=-1，故選A。
又例如：（2012年第8題）設{an}是等差數列，a2和a3是方程x2-5x+6=0的兩個根，則a1+a4=（）
A.2B.3C.5D.6
分析：從等差數列的性質可知，a1+a4=a2+a3。求出方程兩個根分別為2和3。所以a1+a4=5，故選C答案。
再如：（2013年第12題）若a，b，c，d均為正實數，且c是a和b的等差中項，d是a和b的等比中項，則有（）
A.ab>cdB.ab≥cdC.ab
分析：已知a，b，c，d均為正實數，由c是a和b的等差數列的中項，可得c=a+b2，又由d是a和b的等比中項，可知d=ab，所以cd=a+b2?ab。比較ab與cd的大小，即比較ab與a+b2?ab的大小，由基本不等式ab≤a+b2，可知ab≤a+b2?ab，故選答案D。
二、數列復習應解決的問題
1.概念的理解
在數列復習的過程中，掌握數列、等差數列和等比數列的概念是學生的最基本的任務。如例：（2015年第16題）若等比數列{an}滿足a1=4，a2=20，求{an}的前n項和Sn。學生要掌握通項公式及前n項和公式的定義才能夠得到這道題的答案。這也就說明了數列的基本定義和性質是高職高考源頭活水，應當得到教師和學生的高度重視。
2.性質的掌握
在數列復習中，等差數列、等比數列的性質簡潔明了還具有很強的實用性。
比如：（2015年第16題）已知數列{an}的前n項和Sn=nn+1，則a5（）
A.142B.130C.45D.56
分析：由an=Sn-Sn-1性質可知，a5=S5-S4，所以a5=55+1-44+1=130，故選B答案。
因此，在數列復習的過程中，學生是否能熟練掌握這些性質的運用，很大程度上決定了數列復習的質量。
3.思想的運用
觀察近幾年的高考壓軸題，命題專家通常會將數列的概念、公式和其他的知識點有效的結合，考查了W生的綜合能力。這就要求我們在復習中要夯實基礎知識，重視對課本例題、往年考題的拓展、引申和變式研究，注重對隱含于其中的思想方法進行歸納、整理和提煉。因為我們相信，所謂的壓軸題，往往是源于課本，源于基礎。（限于篇幅的限制，這里不再一一舉例論證）
三、數列復習的原則和策略
1.數列復習的原則
隨著新課程改革的深入開展，在高職高考命題中，數列和其他的知識點的結合已經成為了高考命題的趨勢與熱點，特別是在壓軸題的高頻率出現，有效地檢測出考生的數學素養和潛能，這是我們在數列復習中必須重視的一個原則。
2.數列復習的策略
從考試大綱窺測試題特點
分析近年來中央國家機關和部分省級機關招考公務員的考試大綱及歷年試題，不難看出，行政職業能力測驗的試題具有以下幾個方面的特點：
1．題量大，時間緊。
一般來說，120分鐘內要答完130道左右的試題，因此，速度和準確性是考試成功的關鍵。
2．試題設計的客觀化和標準化。
3．試題內容豐富，涵蓋面寬。
4．考題形式靈活，題型變化多樣。
從出題方式探尋命題規律
近年來，中央國家機關公務員錄用考試行政職業能力測驗的題型和題量基本穩定。但具體到每種題型的出題方式上卻有較大的變化。
比如，數字推理題的出題方式主要有以下三種：一是普通數列，數列中所有項遵循同一規律；二是奇偶項數列，即數列中奇數項與偶數項分別遵循不同的規律；三是數字組合數列，即題目所給數列中的若干項為一數字組合，在數字組合之間遵循一定的規律。不同的類型，應采用不同的解題方法
【例1】1，2，6，15，31，（）
A．53B．56C．62D．87
【例2】6，18，（），78，126。
A．40B．42C．44D．46
【例3】（），36，19，10，5，2。
A．77B．69C．54D．48
以上3個例題都是普通數列，但又可以分為3種出題方式，例1的出題方式是最傳統的，數字排列從左到右，相鄰兩項差分別是1，4，9，16……，為自然數的平方數列，則空缺項為31+25＝56。故應選B。例2采用了中間留空的出題方式，這種題通常要求將所選項代入原數列，進行驗證。題目所給數列中各項均除以6，所得結果依次是1，3，（），13，21，……，是差為等差（2，4，6，8，……）的二級等差數列，因此空缺項應為6×（3＋4）＝42，正確答案為B。本題還可以采用排除法，經觀察選項中只有42是6的倍數，也可得到正確答案為B。例3的空留在最前面。可以采用從后向前進行推理的解題方式。該題是一個三級等差數列。從后向前，前減去后項的結果分別是3，5，9，17……，相鄰兩個結果之間的差又分別是2，4，8，……，為公比為2的等比數列。因此空缺項應為16＋17＋36＝69。應選B。
【例4】1，15，8，24，27，35，64，48，（），（）
A．65，24B．125，80C．125，63D．65.124
【例5】12，3，4，9，25，3，5，15，36，2，6，（）。
A．13B．12C．11D．10
一般來說，如果一個數列超過7個數，首先應想到的是奇偶項數列和數字組合數列。例4的奇數項分別為13，23，33，43，……，相鄰偶數項之間的差分別為9，11，13，……，所以空缺項分別為53＝125，和48+15＝63。答案應為C。例5是以4個數為一個組合的組合數列，第1個數乘以第2個數所得的積再除以第3個數等于第4個數，空缺項應為36×2÷6＝12，答案選B。
可見，了解了各部分內容的出題方式，在復習中就會事半功倍。
利用歷年試題進行針對性訓練
行政職業能力測驗是通過一系列的測試，預測考生在行政管理領域里的多種職位上取得成功的可能性。這種能力不可能在短時間內取得實質性突破，因此，也就不必在考前進行一般意義上的“復習”。考生主要應掌握一定的答題思路和應試技巧，并加強針對性訓練。利用歷年試題作為針對性訓練的練習題是不錯的選擇。
【例1】某大學某班學生總數為32人。在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格。若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數是（）。
A．22B．18C．28D．26
本題正確答案為A。可用集合畫圖法快速解答。
如圖所示，令第一次考試及格的為A+C，第二次考試及格的為B+C，則兩次考試都及格的為C，都不及格的為4，本題求解C。已知A+C=26，因A+B+C+4=32，所以B=2,又因B+C=24,可快速解出C=22。
【例2】現有50名學生都做物理、化學試驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有（）
A．27人B．25人C．19人D．10人
本題正確答案為B。同樣可用集合畫圖法快速解答。
例1和例2分別出自2014年和2014年國家公務員錄用考試的行政職業能力測試。盡管兩道題的具體內容不同，但考查的知識點是相同的，可用相同的方法解答。可見，從歷年試題中總結出常考的知識點，并加以針對性練習，是行之有效的。
變被動答題為主動答題
很多考生進行答題時，比較茫然，被動答題，很容易陷入出題人的“陷阱”。在考試中，強化已經掌握的應試技巧，變被動答題為主動答題是極其必要的。
比如，演繹推理的出題方式，主要可歸結為結論型、加強型、削弱型、補充前提型、解釋型5類，不同類型有不同的提問方式和解題技巧。考生通過針對性訓練，能做到一看見提問方式，就知道該題歸屬到哪一種類。
例如：一家飛機發動機制造商開發出了一種新型發動機，安全性能要好于舊型發動機。在新舊兩種型號的發動機同時被銷售的第一年，舊型發動機的銷量超過了新型發動機，該制造商于是得出結論認為安全性并非客戶的首要考慮。
下面哪項如果正確，會最嚴重地削弱該制造商的結論？（）
A．新型發動機和舊型發動機沒有特別大的價格差別
B．新型發動機可以被所有的使用舊型發動機的飛機使用
C．私人飛機主和航空公司都從這家飛機發動機制造商這里購買發動機
D．客戶認為舊型發動機在安全性方面比新型號好，因為他們對舊型發動機的安全性了解更多
本題為削弱型考題，正確答案為D。經過針對性訓練，考生看到以上提問方式就能想到應歸結到削弱型，然后根據削弱型的解題技巧，首先要找到結論或論點，然后從4個選項中尋找能反駁論點或結論的選項，就是正確答案。這樣考生就從被動答題中走出來，既節省了時間，又增強了準確性。
考生要注意，練習題做得越多越好的觀點并不值得提倡。行政職業能力測驗沒必要反復練習，只要掌握答題的要領與方法，保證能合理安排好答題的時間即可。考前時間有限，最好選擇最近兩、三年已經考過的真題，集中力量做兩套就可以了。
關鍵詞：高等數學（一） 極限 歷年考卷
自學考試在我國的高等教育中居于十分重要的地位。由于我國普通高等教育資源短缺，導致相當多的人不能接受普通高等教育。自學考試以其“開放、靈活、適應性強、投資少、效益高、工學矛盾小”等特點受到人們的歡迎，在我國得到快速發展，為我國的經濟建設培養了大批有專業知識和技能的人才。在今后相當長的一段時間里，我國普通高等教育資源短缺的情況仍將存在，因而自學考試還會繼續發展。
很多自考專業的考試科目中要求考高等數學（一）（以下簡稱高數），這門課的教材由章學誠主編，全國統一考試。高數對考生來說無疑是最難學的課程之一，在每次組織的考試中，高數的及格率都很低，相當多的考生不能通過高數考試，影響到畢業證的獲取，導致很多考生放棄了自考。本文主要針對高數中極限部分的內容進行分析。極限內容對自學者來說有一定的難度，考生對此往往無所適從。極限是高數考試的必考部分，考生如果放棄極限的學習，會對能否通過考試產生影響。針對這一情況，本文試圖通過對歷年考題的分析，總結考試經驗，以期對考生自學和應考提供一定的幫助。
一、高數自考考試大綱關于極限部分的考試要求
自考生的自學應該按照考試大綱的要求進行。高數考試大綱中極限的考試內容包括數列極限、數項級數的基本概念、函數極限、極限的運算法則、無窮小(量)和無窮大(量)、兩個重要極限等。其中極限包括數列概念、數列極限的定義和收斂數列的基本性質；函數極數包括函數在有限點處的極限、自變量趨于無窮大時函數的極限和有極限的函數的基本性質；無窮小(量)和無窮大(量)包括無窮小(量)、無窮大(量)、無窮大量與無窮小量的關系和無窮小量的比較。
與此相對應，考試大綱中極限的考試要求包括：①理解極限的概念，會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件；②了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則；③理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系，會進行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價)，會運用等價無窮小量代換求極限；④熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
就高數中極數部分的考試范圍來說，考試內容是比較多的，這給考生的學習及應考產生了一定的思想負擔；而考試大綱的要求包括了解、理解、熟練掌握、運用等諸多方面，要求掌握的內容不少。由于考試大綱中極限在總分中所占比重并非很大，且極限部分非常抽象，尤其是極限的概念部分難以學懂，一部分考生忽略它是可以理解
的。
二、歷年高數考試中極限部分考題分析
本文選擇最近的5次高數考卷進行分析，這5次分別是2007年4次以及2008年1月的考試。做出這種選擇的依據是：第一，它是與現在相距最近的5次考試，試題的分析具有實際意義，對未來的考試具有實際指導作用；第二，試題分析應該建立在一定數量試卷的基礎上，試卷太少則代表性較差；第三，需要說明的是，這5次考卷的題型及題型分值完全一樣，屬于同一次命題的范疇。這5次考卷的題型包括選擇、填空、計算、應用和證明等5種類型，試題總數25個。其中選擇題5個，共10分；填空題10個，共30分；計算題分為計算題（一）和計算題（二）兩類，計算題（一）5個，共25分，計算題（二）3個，共21分；應用題1個，9分；證明題1個，5分。試題難易比例：容易題約20%；中等偏易約40%；中等偏難約30%；難題約10%。
在這5次考試中，均有極限方面的考題出現。從考卷統計的情況來看，每套試卷出現3個左右的極限題目，其中一個以計算題（一）的形式出現，另兩個出現在選擇題或填空題中，屬于小題；極限部分合計分值在10分左右；就極限的考試內容來說，以計算題（一）形式出現的題目偏向于兩個重要的極限，以選擇題或填空題出現的兩個小題偏向于考核數列的極限、兩個重要的極限等。由此，我們可以得出，極限部分的考試重點是數列的極限及兩個重要的極限，考卷中出現的極限部分與考試大綱的考試要求保持一致。
極限部分考題在近幾年高數的考試中出現得不多，且重點突出，對高數的考生來說，把握這一情況無疑是重要的，考生可以有重點地展開極限部分的學習，復習中集中精力關注重點內容。
三、關于極限的自學建議
事實上，極限在高數的學習中是重要的基礎。我們知道，數學知識的聯系很密切，極限部分對于后續內容的學習有重要影響。自考生在自學中應該以長遠的觀點來對待，不能因為考卷中極限部分的考題不多、分值較少且難以自學就放棄對它的學習。關于極限的自學，我們認為只要掌握好學習方法，通過一定的努力，一定可以取得滿意的效果。在自學中，以下三點應引起自考生的關注。
1. 掌握基本概念、基本方法和基本原理
每門學科最重要的內容就是基本知識，包括基本概念、基本方法和基本原理等。要順利通過高數考試，就要明確高數要考些什么。高數主要是考基礎，包括基本概念、基本理論、基本運算。高數是一門基礎學科，如果基礎、概念、基本運算不太清楚，運算不太熟練，肯定就考不好，所以基礎一定要打扎實。就最近幾年的數學試題來看，主要也是以考查數學的基本概念、基本方法和基本原理為主。由于極限較為抽象，自學起來會有難度。我們認為要學好這部分內容就要牢牢把握基礎，極限部分的基礎內容是數列極限的定義以及函數在有限點處的極限定義。學習極限時頭腦中始終要有一個動態變化趨勢的概念。
2. 把握學習重點
要明確考試重點，充分把握重點。重點學習內容的重要性表現在它是學科的主要部分，它對于相關內容的學習有重要的影響，它往往也是考試的主要部分。把握重點其實很容易，考試大綱指明了每一章節的重要內容，只要認真地閱讀便會知曉。通過考卷的分析，可以得出極限的考試重點就是數列的極限和函數在有限點的極限的定義，以及兩個重要的極限。為了充分把握好重點，平時應該多研究歷年真題，更好地了解命題思路和難易度。
3. 要大量做基礎練習題
做數學練習是為了更好地理解基本概念，是掌握數學基本知識的需要。由于歷年的數學考卷中都是以基礎題目為主，日常的數學練習顯得尤為重要。我們認為數學練習應以基礎練習為主，要多做練習。在此基礎上，重視總結歸納解題思路、套路和經驗。數學試題千變萬化，其知識結構卻基本相同，題型也相對固定，往往存在明顯的解題套路，熟練掌握后既能提高正確率，又能提高解題速度。
一、新課改背景下高中數學數列有效進行教學的影響因素
1、教師因素
1.1教師的教學觀念
我國傳統的教師講課是教師在講臺進行講解，學生在臺下進行記錄學習，這是一種單方面的傳授，并且這種教學的觀念是老師作為主體，而學生作為客體或者是被動者，這與新課改存在一定的矛盾，新課改的理念是學生作為學習的主體，在學習中具有主動性，老師與學生應該顛倒位置，進行交流與反饋，從而實現教育的雙向傳播。
作為一名高中數學教師，更應該注重學生學習的主體地位。在對學生進行數列的教學中，轉變傳統的教學觀念，給新課改背景下的數列教學注入新的教學理念，從而使教學工作取得更好的效果。
1.2教師的教學能力
數學老師擁有較高的教學能力和教學方法，對于數學數列的教學就成功了一半。這其中包括課上高效的教學方法和課下有效的監控行為[2]。課上高效的教學方法是指教師能夠在課上對于數學數列的教學完整系統，使學生能夠清楚地明白教師在講什么，從而對于數列的解題思路一目了然，使學生在課堂上就能夠獲取知識，掌握知識，從而提高對數列的解題水平。課下的監控行為是指教師能夠對學生在課下能夠加強數列知識的鞏固進行有效地監督和控制，從而不斷地完善自己教學方法。對于在課上學生沒有聽懂的問題及時的進行檢查，通過反饋調節自己的教學活動，從而不斷改善教師的教學。
1.3教師的知識結構
教師個人的知識水平直接影響到教師能夠勝任數學數列教學這個工作。科學研究表明，教師的教學工作的有效性與教師的科學文化水平和知識結構存在一定的關系，如果教師連具備進行數學數列教學的專業知識都沒有，又怎么能進行教育學生的工作，解決學生在數列學習中的困難呢？
2.學生因素
1學生的心理原因
學生自身的心理原因也是阻礙數學數列有效學習的因素。學生對于學習有不同的看法，有的學生喜歡學習，有的學生不喜歡，這都取決于學生自身。喜歡學習數列的學生他對于數列的學習熱情就高，學習態度就積極，取得的成績也就更顯著，反之亦然。
2學生的學習能力
每個學生的學習方法和學習能力不同，就會造成數列學習的不同進度，進度快的學生學的就快，數學教師講授的知識能夠很好地消化，而那些學習能力較差的同學就更不上老師的進度，導致學習數列的成績很低。學習的起點不同，個人腦力的不同，也就形成了學生學習能力的差距，這都是影響高中數學數列有效進行的原因[3]。
3、課程資源因素
目前我國在新課改背景下，進行高中數學數列教學的課程資源還不是很全，像網絡資源、教學素材這些還比較傳統，沒有系統的概括，這無疑給數學數列的教學帶來了一定的困難。
二、有效進行高中數學數列教學的方法措施
2.1提高教師素質，豐富教學手段
隨著網絡技術的迅速發展，給當前的教育注入了很多新的技術應用，同樣的，高中數學的數列教學也可以借助多媒體網絡的技術進行。多媒體教學有其自身的優勢，它能夠提供給學生傳統數學教師講授數列知識時所不能提供的，它能夠將平面的東西運用多媒體技術通過立體化的形式展示出來，使學生能夠產生立體感，有利于學生的思維開闊和解題技術的提高。比如，在數列學習中，利用多媒體的“幾何畫板”做點與函數圖像的軌跡，進行“圓錐曲線”的教學方法[4]
向學生展示二次曲線的形成和發展過程，在這一過程中，能夠激發學生的想象力，開闊學生的視野，豐富了教師講授知識的內容，提高了高中數學數列的學習質量。
2.2培養學生興趣，著實提高學習方法
學生是學習的主題，要想提高學生的數列學習，必須從學生的思想做起，提高學生學習數列的興趣，正所謂“興趣是學生最好的老師”。所以，在高中數列的教學中我們要發揮學生作為主體的作用，提高學生學習數列的積極性，重視其興趣的培養。比如，在高中的數學數列教學中，可以運用一些新穎的教學方法，增強學習的趣味性，使學生產生興趣，充分利用相關案列，把知識傳授轉化成學生主動接受。此外，對于學生學習方法的提高，教師可以根據大多數學生解題思路的反饋，總結出一套最為簡單的方法，根據每個人的實際情況對其進行分析總結，力求使每個學生都能靠自己把數列的答案給解出來。
2.3優化課程設計，提高教學模式的合理性
高中數學數列教學模式的枯燥使得整個課堂氣氛無法活躍起來，所以，優化數列的課程設計，創造出合理的多樣的生活化的教學模式，是有效提高高中數學數列教學的一種方法。比如，將學生喜歡的網絡游戲的程序設計和課堂進行的數學知識的傳授緊密的結合在一起，使得學生對學習的積極性增加，在輕松快樂的氛圍下獲得了知識，也可以通過結合實際生活中的問題情景，提出在數列知識上的重難點[4]。通過這種方式，不僅使學生掌握了學習中的重難點，也提高了學生的生活常識。比如，在進行概率知識的講解時，教師可以將彩票、雙色球等與數學教學中的知識相結合，從而更加直觀的讓學生學習到解題思路。
【關鍵詞】教學生學會審題 針對性訓練
落實一 精選例題習題
例題習題的選擇要有針對性、典型性、綜合性、靈活性，要注重基礎和重點，注意梯度，由易到難，容量恰當，要求適度，能起到觸類旁通、舉一反三的作用。
落實二 教學生學會審題
有些題目不難，但由于審題的原因會出現漏解或誤解的情況，例如：
⒈若方程 + =1表示雙曲線，則m的取值范圍是 ，不少同學只考慮到2-m>0|m|-3
⒉已知sinx+siny= ，求siny-cos2x的最大值。
解答本題常有如下的錯解：由sinx+siny= 得siny= -sinx，故siny-cos2x= -sinx-cos2x= 2- ，因為-1≤sinx≤1，所以當sinx=-1時siny-cos2x取最大值 。造成錯解的原因是沒有挖掘題中的隱含條件，其實siny的取值限制了sinx的取值，由-1≤siny≤1-1≤sinx≤1siny= -sinx得- ≤sinx≤1，所以當sinx=- 時siny-cos2x取最大值。
像這樣出現錯解或漏解問題很多，因為題目不難，并非不會做，犯的錯誤實際上可以避免。造成錯解或漏解的原因很明顯，是審題環節上出現了問題。為避免這樣的錯解或漏解，要教會學生審題即正確理解題目的意思。教會學生正確地理解題目中有關名詞、數學符號、圖形、術語及有關語句的含義，弄清楚哪些是已知條件，哪些是未知條件。在教學過程指導學生審題要規范，讀題要細心、耐心，把認真審題形成自覺的習慣，通過認真審題挖掘隱含條件，尋找解題突破口，從而制定解題方案策略，對于關鍵步驟、易出錯的步驟，要邊做邊檢查，做到一次成功。
落實三 注重針對性訓練
通過針對性的訓練，不但能使學生獲得成功學習的體驗，還能強化學生的基礎知識、基本技能、基本方法。例如，設計等差數列問題課內訓練題：
練習1： 等差數列{an}中，已知a10=100，a100=10，求a110。
針對性訓練1： 等差數列{an}中，已知ap=q，aq=p（p≠q，p，q∈N+）求ap+q。
練習2：等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S10=100，S100=10，求S110。
針對性訓練2：等差數列{an}的前項n和為Sn，已知Sp=q，sq=p（p≠q，p，q∈N+）求Sp+q。
通過這樣有針對性的訓練，能及時幫助學生鞏固等差數列的基礎知識，能逐步提高學生解決等差數列問題的能力；通過這樣有針對性的訓練，讓學生嘗試錯誤、暴露錯誤，使學生學會數學思維，提高數學修養。通過剖析錯誤，讓學生加深對數學概念、定理、公式的理解，樹立學好數學的信心；通過這樣有針對性的訓練，讓學生積極地面對錯誤，不回避錯誤，使錯誤成為一種自我教育的資源。
落實四 強化規范性訓練
解題不規范就可能出現“會而不對，對而不全，全而不完美”的遺憾現象，因此教學過程中要對學生進行解題規范性訓練。
⒈規范語言轉換
數學命題是由特定的數學語言（文字、符號、圖形）組成，解題活動就是數學語言的轉換過程。通過語言轉換，理解題意即審題，由此確定解題方案。
⒉規范解題依據
數學解題的依據應是教材中定義、定理、公式及其數學概念而不是其它。特別要掌握每個定義、定理、公式具備的條件，否則將出現錯誤的結果。
例如：平面內到點的距離與到直線的距離相等的點的軌跡是____。如果忽視拋物線定義中“定點不在定直線上”這一隱含條件就會填上軌跡是“拋物線”，實際上本例中點在直線上，故動點的軌跡是過點且垂直于直線的直線。
⒊規范解題模式
數學應用題要按設、列、算、答四個程序進行，立體幾何對作、證、算三個環節要處理妥當。
⒋規范答題格式
教材中典型例題及每年高考試題的參考答案與評分標準都給出了解答題答題的基本格式，這些都可以作為平時學習與訓練的樣本、模式。
⒌答案要做到準確、簡潔、全面，既注意結果的驗證與取舍，又要注意答案的完整。
⒍規范書面表達
規范的書面表達不但要做到字跡工整，還要語言敘述規范。規范的語言敘述應步驟清楚、正確、完整，詳略得當、言必有據。要避免隨意性，切不可杜撰數學符號和數學術語。
落實五 加強限時訓練
通過限時訓練提高練習的效率，做到練習考試化，使學生在考試的環境中緊張有效的學習。
落實六 及時反饋
學生的作業、做完的試題要及時批閱，在批閱過程中把學生出現的問題進行歸納統計，找出解題的誤區或知識上存在的欠缺，有針對性的指導學生彌補不足，搞好復習，提高學習效率。
