時間：2023-03-07 15:19:23
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關鍵詞：現實生活 體驗數學 感受數學 開放性 多樣性
近年來，教師有住房公積金優惠政策。我想購買一套住房，我想把我和愛人在家經常討論買哪個小區、貸款多少、還款多少年等問題推給學生討論，借以復習已學過的數學知識。
《生活中的數學》
列舉我們身邊的教學目標：
1、實例使學生意識到中學數學知識尤其是函數知識在生活中的巨大作用，激發學生用數學的原動力。
2、培養用數學的意識。
3、訓練學生對主要信息的捕捉，體驗現實問題決策的多樣性與開放性。
教學重點：建模能力的培養。
教學難點：數學模型的建立。
教學過程：
師：最近老師想以貸款的方式購買一套住房，在走訪了幾個同類小區后，老師把目光鎖定在相同條件下兩個小區。
A小區，首付6萬元，每月還款1152.8元。
B小區，零首付，每月還款1562.5元。
貸款年限不少于3年，必須在退休之前還清，對于我來說，不得超過15年，請同學們幫我拿主意，看我究竟該選哪個小區？
（學生沉思片刻，開始動手演算。）
生：老師你應該哪種省錢選哪個。我設貸款為x月，所交金額為y元。
yA=60000+1152.8x
yB=1562.5x
師：那我們如何比較呢？
（教師的適當引導有助于學生把已有的零散知識整理成體系從而更好地理解一次不等式組與一次函數之間的內在聯系。）
生：可以用不等式，令yA>yB即：
60000+1152.8x>1562.5x
60000>409.7x
解得：x
由于是房貸問題，所以有x
同理求得，當x>147時yA
即：當x小于147時選B小區；當x等于147時選A和B小區均可；當x大于147時選A小區。
師：利用我們所學的不等式知識，可以得到答案。還有其他的辦法嗎？
生：可以用函數圖像。
師：好，請同學們借助函數圖像解決。
（教師巡視觀察學生不同的畫圖像的方式，請他們分別上黑板自己畫出他們自己認為的圖像，這一部分分析有助于培養學生數學思維的嚴密性。）
師：讓我們共同分析一下這三個圖像吧！
生A: 老師，我認為圖像甲畫得不對，因為x、y不可能為負數。
師：有道理，那么乙圖像是否正確呢？
生B: 老師，乙圖像畫得也不對，因為規定貸款年限不低于三年，所以兩個函數圖像的起點應在x=3×12=36處。
生C: 我覺得丙圖像基本符合題意，它注意到了自變量x的取值范圍，即3×12≤x≤15×12，即 36≤x≤180。
(學生在利用數學知識面對實際問題時能因地制宜、靈活處理，這正符合“人人學有用的數學”這一學習數學的最終目的，思維很有創造性。)
生：同意。
師：D同學，請問如何用圖像判定哪種方式更省錢？
生D: 交點處x的值即為前面求的147。這里yA=yB，選哪一種均可；在交點右方，當x取相同值時，yA
師：看來同學們從經濟問題方面幫助老師考慮，在貸款年限相同時，哪種方式還款少，我選擇哪種。請大家不要停下思考的腳步，看看我們還有沒有要考慮的問題和新的角度。
生E: 老師，我覺得思路拓展開了，首先應考慮你手中是否有6萬元，如果有，你有兩種選擇，如果沒有，你只能選B小區。
生F: 老師，我認為你的貸款年限最多15年，共180個月，公積金的貸款利率較低，如果你有6萬元，也應該選B小區，因為這樣到期yB-yA=1562.5×180-(60000+1152.8×180)=13746元。隨著工資的增加，物價上漲，在十五內，多出的13746元早就充里面去了。而且老師現在還可拿這60000元來投資其他獲利，創造更高的價值。
師：從發展的角度來看，我贊同生F給我的建議，他很有頭腦，好好努力，今后會成為一個成功的金融人士。
課后反思：
在課堂教學中，要力求體現“小課堂，大社會”的思想，真正使學生獲得作為公民所必須具備的數學基礎知識和基本技能，為學生終身可持續發展打好基礎。在解決實際問題時，由于學生的觀察點不同，往往會得到不同的結論。在教學過程中應鼓勵和引導學生思維的多樣性，把數學學活，使數學真正源于生活并服務于生活。
評析：
第一，本節課的設計主要是列舉我們身邊的實例，使學生意識到中學數學知識尤其是函數知識在生活中的巨大作用，激發學生學習數學的原動力和培養學生用數學的意識。
要提高課堂教學效率，優化教學，就要創造合適的教學情景，讓受教育者積極主動地去認知，變被動為主動，就好比是數學發展史還沒有寫到今天，許多性質和結論是學生探究推導出來的，也就是說，知識不只是單方面通過教師傳授得到的，學生也可以在一定的情景中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（教師和學習同伴）的協作，主動建構而獲得，這種教學模式強調以學習者為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的知識建構起幫助和促進作用。我通過多年的教學實踐認識到，遵循這個原則進行數學課堂教學，對學生的學習有著極大的促進作用，從而提高了課堂教學效率。
案例一：
課題：軌跡的探求
教學過程（節選其中一個部分）：教師按傳統的教學方法，順利地講完了這節課的內容后，講了下面這個問題：
題目：已知M是定圓O上的點，N是圓O所在平面上一定點，線段MN中點為P，當M在圓O上運動時，求點P的軌跡。
我認為這個問題已講清楚了，但學生的作業，卻出現了共性問題，許多學生對如下題目仍不會做。
已知M是定圓O上的點，N是圓O所在平面上一定點，線段MN的垂直平分線與OM的交點為P，與MN的交點為Q，當M在圓O上運動時，求點P的軌跡。
學生甲：老師，這個題我不會做。
師：課堂上講的那道題你理解了嗎？
學生乙：我們都會了，但這個題我們幾個人得出的結論都不同，我算的是雙曲線，他算的是橢圓，到底誰的對呢，應當怎么樣考慮呀？
師：你們的結果為什么不同呢？什么原因產生的？
學生丙：我解得的是N點在圓上；她倆解得的N點一個在圓外，一個在圓內。
師：這就說明，這個題要對N點位置進行討論呀。
學生乙：那還有沒有別的情況呢，怎么樣才能解全面呀？
學生?。耗敲瓷险n的題目中，當N點在不同位置時，又會怎么樣呢？
師：需要進行討論分析。
生?。嚎晌覀內绾尾拍苤?，什么情況下要討論，什么情況下不討論呀？
學生提出的問題，確實是他們感到最困惑的。這還是肯動腦子的學生，其他學生，通過這堂課的教學，又明白了多少呢？
對以上案例的反思：
從問題結論的不確定性可以看出，傳統的教學方法，無法讓學生直觀地發現動點變化的情況，更難以理解結論產生的原因，即使是教師在教學過程中反復強調，或引導學生思考，學生也僅僅只能記住教師所講的結論，沒有自己的探究和思考，知其然而不知其所以然。由于教師在教學中只注意強制性地把知識注入學生腦中，學生沒有自己主動探索與建構，學生處于被動地位，思維呈依賴性，所以學生只能消極被動地接受知識，無法達到有意義地理解和靈活運用。
總之，這些現象說明我們的教學存在著缺陷。多年來，我國基礎教育在培養學生基礎知識、基本能力上做出了一定的貢獻，這是我國基礎教育的優勢所在。但也就是這種優勢使我國基礎教育只強調書本知識的傳授，理解和掌握，強調解題能力的形成和提高，忽視了學生綜合素質的提高和個性的發展，特別是學生自主學習和自主發展能力的培養。
二、建構觀下的教學設計（創設情景，改進教學策略，提高教學效率）
案例二
題目：N是圓O所在平面上一定點，線段MN中點為P，當M在圓O上運動時，求點P的軌跡。
教學過程（節選其中一個部分）：教師用幾何畫版演示軌跡（創造情景），當學生看清軌跡時，教師讓學生回答為什么？并引導學生用幾何方法，借助圓錐曲線統一定義進行論證。
當學生完成論證后，教師提出新的問題：
在上面問題中，過點P作MN的垂線，交OM于Q，則當M在圓O上運動時，問點Q的軌跡是什么圖形。
生：還是圓。
師：是圓嗎，用幾何畫版試一試。（學生興趣高漲）
生：是橢圓。
師：有不同意見嗎？
生：是雙曲線。
師：還有不同意見嗎？
生：是一個點。
師：把幾種意見總結一下。
生甲：當N點在圓內不與O點重合時是橢圓。
生乙：當N點在圓外時是雙曲線。
生丙：當N點在圓上時是O點。
生丁：當N點與O重合時是圓。
師：能證明一下嗎？
學生在教師的指導下，進行論證。教師引導學生從不同的角度進行論證。
師：我們不僅要學會解決問題，還要積累解決問題的經驗，總結解決問題的方法，并運用這些經驗解決新的問題，更重要的是敢于提出問題，善于提出問題。從剛才的探求中可以看出同學們掌握了基本的探求和論證的思維方法。
點評：我們知道，探求一個點的軌跡，思維的出發點主要是有兩個，一是找出約束動點變動的幾何條件，二是找出影響動點變動的因素，而這一節課從一系列的問題的探究中，使學生明確了探求點的軌跡的途徑，初步理清了解決這類問題的思路，從整體上把握了這類問題的解決方法，看清了問題的本質。
反饋記錄
學生A：今天的課，用幾何畫版直觀的演示，感覺很容易懂，很美妙！
學生B：想不到，在一次次的探討過程中，能得出這么多的結論，學到這么多東西，挺有成就感的！
學生C：這樣學起來，又輕松，又容易懂，自己發現的結論，就不易忘記了。
案例二對我們的啟示：
a數學發展史表明，每一個重要的數學知識的形成和發展，都有著豐富的經歷。對學習者而言，數學知識應該是一個數學化的過程，即通過對常識材料進行細致的觀察和思考，借助分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進行去粗取精、去偽存真的精加工。案例二正是從數學研究和數學實驗的過程中進行設計，學生的思維不一定真實地重演了人類對軌跡探索的全過程，但確確實實通過實驗、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中學習數學，從而才使學生有了對數學學習的樂趣。
b.雖然學生要學的數學是歷史上前人已建構好的，但對他們而言，仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學習活動來再現類似的過程。教師的工作是把教學設計成學生動手操作、觀察猜想、揭示規律等一系列的過程，側重于學生的探索、分析與思考，側重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數學能力。
c.教師的地位應由主導者轉變為引導者。案例二正是在這個思想的指導下，要求教師的教學思想由“教”轉向“學”，由“教師”轉向“學生”，使教學活動真正成為學生的活動。在教學過程中，把學習的主動權交給學生，在時間和空間上保證學生在教師的指導下，學生自己獨立自主地探究學習，在教學方法上，充分注意學生的差異性，加強課堂調控，使每一個學生通過自己的努力，在自己原有的基礎上都有所獲，都有提高，使教學活動充滿師生交流互動的氣氛。正是基于以上觀點，我較成功地上好了這一節課，同時學生在這樣的課堂上得到了原來很難得到的收獲。
三、課堂探究學習教學模式的基本環節
a.問題引入。這一階段的教學目的要求教師向學生呈現一個令人困惑的問題情境，必須激起學生強烈的好奇心，本能地產生一種想知道“怎么回事”的沖動。
b.探求背景。這一階段的教學目的要求教師引導學生根據自己已有的知識，查閱資料或動手實驗（動筆檢驗或用計算機實驗）去研究探索。
c.結論的發現。根據實驗得出的數據，提出假設與猜想。這一階段要注意充分引導學生打破傳統的思維模式，大膽想象，勇于質疑。
d.結論的論證。用數學邏輯推理的方法，證明發現的結論。這一階段要注意引導學生學會邏輯推理，培養學生思維的嚴謹性。
e.反思評價。對探究過程進行評價反思。關鍵是讓學生掌握如何從過去的知識經驗中找到著眼點，找出思考問題的途徑，掌握分析的方法，這個過程實際上是一個綜合評價的過程。同時運用所學的方法解決新的問題。
總之，通過案例研究，創設情景，改進教學策略，較好地優化了課堂教學，培養了學生探究學習的能力，收到了較好的教學效果，極大地提高了教學效率。
參考文獻：
［1］陳國軍.高中數學教學案例的設計探索［J］.當代教育論壇，2007，5.
現如今，傳統的教學模式已經無法滿足小學生學習數學的需求。因此，小學數學教師應當轉變教學觀念，以學生情況和教材內容為依據，運用科學有效的方式提高教學效率，讓學生學到有用的數學知識。在這樣的背景下，將案例教學法引入小學數學課堂可以有效地解決上述問題。
關鍵詞：
案例教學法；數學教學；小學數學
隨著新課標的大力實施，案例教學法已經被廣泛地應用在各年級段多個學科的教學中，并取得了很好的效果。以案例為基礎的教學形式很好地契合了新課標中要求教師為學生“提供符合實際生活的、有現實案例的學習環境”的理念，可以讓學生在案例學習的過程中提高理解能力，有效促進知識和生活相結合，對教學效率的提升也有著促進的作用。
一、案例教學法的定義
案例教學法起源于20世紀初的哈佛商學院，是以案例作為教學的基本內容而實行的教學策略。案例往往是根據現實生活、社會和自然的真實事件而設計的，其本質上是提出教育的兩難情境，沒有具體化或程式化的解決方法。在這個過程中，教師成了教學案例的設計者和學生學習的引導者，鼓勵并引導學生通過多種形式的學習對案例問題解決整理，并歸納、掌握知識，最終達到教學目的。
二、案例教學法的價值
在教學的過程中，案例教學能夠把抽象的數學知識巧妙地融入真實、生動的案例之中，可以讓數學知識變得簡單、具體，這不僅可以避免小學生因為邏輯思維能力較弱而學習數學會有難度的狀況發生，也可以讓學生將數學理論自然地融入生活實踐之中，讓他們發現數學的價值，提高學習熱情，進而提升學習質量。數學的靈活性較強，因此數學案例的設計和設置也具有多元化、靈活度高的特征。這有助于讓學生在學習數學的過程中培養邏輯思維能力，讓學生發現數學知識的聯系性和系統性，并且能建立屬于自己的數學知識體系，對把新的數學知識融入學生的思維之中也有著重要的作用。
三、案例教學法在小學數學教學中的運用方法
1.制定清晰的案例核心
首先，教師制定的案例必須是真實的、貼合生活內容的，案例的描述必須是一個完整的情境，能夠讓學生在喜聞樂見的生活案例中實現思維的拓展和能力的延伸，讓學生再次遇到類似的問題可以觸類旁通。不僅如此，問題必須緊隨時代，從而有效提高對學生的吸引力，調動學生學習的積極性。
2.設計多元的案例內容
在設計案例時，內容可以涉及學生喜聞樂見的生活情境，也可以是社會熱點、生活中不起眼的細節。針對這個問題，教師必須經常以小學生的視角關注和觀察生活，從而設計出能讓學生發現數學價值的案例。不僅如此，教師還應當實現資料和參考文獻來源的多元化，并根據教學的具體內容和學生的實際情況設計案例。舉例而言，在講解“小數乘法”時，筆者設計并實施了這樣的案例：我昨天晚上去逛超市，買了一盒10.5元的蛋糕、一瓶28.8元的玻璃水和一支9.6元的牙膏，你們知道我一共花了多少錢嗎？由于掌握了小數加法的計算方法，學生當然可以很快地得出正確答案。這時，筆者追問：我在超市的時候遇到了鄰居大媽，她告訴我她看見超市的雞蛋在促銷，每斤3.6元，她買了3.5斤。那么鄰居大媽買雞蛋花了多少錢呢？案例講述完畢，學生面面相覷。這時，筆者鼓勵他們首先列出算式，幾乎所有人都能列出3.6×3.5的算式，但是對計算方法卻束手無策。這時，筆者引導學生學習小數乘法的相關知識。這樣的案例不僅貼近生活實際，而且有助于學生快速地理解題意，只有在此基礎上再為其進行計算方法的講解，才可以有效提高教學效率。
3.潛移默化的案例滲透
在實施案例教學的過程中，小學數學教師必須以學生的認知程度為依據，對案例進行多種方式的呈現，避免因生搬硬套而導致學生難以理解案例的現象發生。另外，案例的分析和解決需要讓學生在實踐探究、合作交流等多元化的模式中展開，在此基礎上擴充知識，總結并歸納出數學的規律和本質，實現能力的遷移和提升。例如，在講解“測量”的過程時，學生往往對“千米”的意義難以理解。對此，筆者利用案例，讓學生通過多媒體的地圖功能觀看以學校門口為起點，走到哪里是1000米。另外，如果學校的操場是標準的400米田徑運動場，教師也可以帶領學生到學校的操場走兩圈半，感受1000米的實際距離。這種案例實現了知識的形象化，讓抽象理論變為具體的實踐。學生不僅更有效地理解和掌握知識，也可以激發學習興趣，提高教學效率。
總之，案例教學法在小學數學教學中的應用不僅符合新課標的要求，也可以實現理論與實踐的有效結合，讓學生提高知識的應用能力，并且對提高教師的教學效率也有著重要的作用。
作者：陳曉玲 單位：中山市沙溪鎮樂群小學
參考文獻：
關鍵詞：小學；數學教學；學習思維；游戲場景
一、小學數學教學案例的內涵和特點
一個案例是對一個時間情境的描述，在這個案例中可能包括很多的疑難問題，同時也包括解決這些疑難問題的辦法。這需要教師通過創設的案例來加以引導學生，通過對案例的分析讓學生對問題有更加深入的了解和掌握。以此來激發學生的學習興趣和自主學習能力。小學數學教學案例具有素材真實性，選材典型性，情節具體性，時空廣延性和目標全面性等特點。本文從小學數學教學案例的內涵和特點出發，重點通過實際的案例分析了有效的小學數學教學案例對于提高課堂教學，促進小學生學習興趣的重要作用。
二、有效的小學數學教學案例對于教學的作用
有效的小學數學教學案例對于學生知識水平的提高以及認知能力的提高都有很大幫助。具體的作用主要包括：創設故事情節案例，促進學生投入學習；創設游戲場景案例，促進學生愉快學習；能夠提高學生的自我分析能力；激活學生學習思維。
1.創設故事情節案例，促進學生投入學習
小學生都喜歡聽故事，好的故事可以讓學生們更加集中精力，因此我們在教學中可以創設各種故事情節案例，促進學生投入學習。
如在教學“時、分、秒”一課中，我們可以創設龜兔賽跑的例子：烏龜和小白兔又要進行賽跑了，猜猜這次誰能贏。此時老師可以通過各種現代化教學手段來生動地進行引導，通過故事讓學生了解時、分、秒之間的關系。這樣通過創設故事學生會更加深入地了解知識，促進學生投入學習。
2.創設游戲場景案例，促進學生愉快學習
小學生處在好玩，愛動的年齡，我們應該抓住這個特點，利用游戲場景案例來促進小學生的數學學習。采用游戲案例可以讓學生主動參與其中，變被動為主動，通過小學生自身地參與，讓教學內容變得充實，使知識在老師和學生共同參與中掌握。
如在教學《認識人民幣》一課中，創設一個購物的游戲場景，老師準備部分道具，規定好每個道具的價格，讓學生們參與其中，當顧客或者售貨員，這樣學生們在買賣過程中，就會自然的掌握元、角、分之間的轉換。這樣通過游戲學生們不但掌握了知識，也感覺到數學中的樂趣，對于數學的樂趣也在游戲案例中培養起來。
3.能夠提高學生的自我分析能力
老師通過給學生分析案例，可以有效地拓展學生的思維，提高學生的自我分析能力。舉例說明：在一次跳繩比賽中規定每個學生可以跳4分鐘，在參加比賽的兩個同學中，李同學在規定的時間內，總共跳了400下，而王同學平均每分鐘比李同學少跳了8下。試問：王同學在這次跳繩比賽中總共跳了多少下？
對于這個題目，我在批閱時，發現一般學生的解答過程為：
（400÷4-8）×4=368（下）
看到這樣的解答過程，我給同學們留了這樣的批閱：你做得非常正確，不過老師希望從多個角度來進行思考，有沒有更簡單的方法，列出不同的解答過程。
這樣學生受到我批閱的啟示，又列出了如下的解答過程：
400-（8×4）=368（下）
通過這個答案我們可以明白，學生已經從另外一個角度對問題進行了深刻的思考，他們想到了王同學在4分鐘時間里總共比李同學少跳的個數。
通過這個案例我們可以看出，只有對案例進行詳細的分析，老師加以引導，才能讓學生開拓思路，提高學生的自我分析能力。
4.激活學生學習思維
新課標要求所有教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有知識經驗基礎之上。為此老師應該有效創設生活情境的案例，通過生活情境的案例提出數學問題，讓學生投入其中，激活學生學習思維。
通過生活中實際的例子作為引子，引入新知識，讓學生對要學知識有個感性的認識，以此拉近數學與生活的距離，從而來激發學生的學習思維，讓乏味的數學學習變得鮮活生動。
三、總結
總之，通過有效的小學數學教學案例的引入，可以有效地提高課堂教學質量，促進學生們學習的興趣，促進學生分析問題的能力，激發學生的學習思維。為此我們在以后的小學數學教學過程中要更加重視數學教學案例，提升教學質量。
參考文獻：
關鍵詞：高中數學；教學案例設計；探索
我國重視教學改革問題，提倡培養學生的綜合素質。對于高中的數學學科來說，想要提高教學的有效性，就需要將理論與實踐結合起來，結合典型的例題，提高學生對數學公式和知識的應用能力，這就需要高中數學教師認真分析，明確當前教學案例設計存在的問題，有針對性地進行解決。
一、當前我國整體高中數學學科的教學案例還存在一些問題
首先，案例的內容落后，已經不適合再作為典型例題來講解，而且大部分的數學教師依賴所謂的“名家老師”，學習他們的方法，照搬照抄案例的內容與講解的方式，導致很多內容不符合本地區教學的實際情況；其次，當前數學學科的教學案例形式過于單一，很多老師不愿意在這個方面花費時間，而且也沒有相應的能力做好案例的設計工作；最后，高中校長沒有做好教學案例的評價工作，導致相應的工作停滯不前，而且數學教師運用多媒體的能力也不強，導致學科的教學效果不高[1]。
二、做好高中數學學科教學案例的設計有重要的現實意義
一方面，高中數學教師做好教學案例的設計工作，可以有效提高自身的專業能力和綜合素質。因為在設計的時候，需要在網絡上和書籍中查詢資料，鉆研如何進行實際的講解，這就會提高教師的教學實踐能力，在課堂上保證學生的參與度。另一方面，認真設計教學案例的內容，數學教師可以將數學知識進行轉換，用更直觀的形式講解出來，使內容更便于高中生理解和應用，讓他們在日后的學習和工作中，有效地應用，培養他們的實踐能力。
三、關于高中數學學科提高設計教學案例水平的幾點思考
1.高中數學教師根據本學科的教學目標，整合學科的知識
首先，高中教師要做好學科的研究，明確學科的教學目標，這樣才能保證設計的案例內容既具有時代性，又符合教學改革的要求；其次，數學教師整合學科的知識，將需要運用案例的知識總結出來，便于有針對性地設計案例；最后，高中數學教師要提高自身的專業能力，不能照搬照抄網絡上的資源，要根據班級的實際情況，思考選用哪一種案例，如何將案例引出[2]。
2.注意學生的能動性，合理設計案例的內容
一方面，做好上一c內容之后，高中教師就需要進行實際的設計工作，遵循尊重學生能動性的原則，避免“A或B”選擇教學方式，設計開放性的案例內容，提高學生的思維活躍度，讓他們積極參與到課堂中，保證教學的效果；另一方面，分析教學案例的構成要素，為實際的教學應用做好準備，這些要素主要包括教學情境的選擇、案例教學的目標、講解的過程設想、實際講解的效果和總結不足，使設計的教學案例具有完備性，這就需要教師認真分析案例設計的結構，根據不同的內容選擇合適的結構。如講解判斷直線與平面平行的內容時，在設計案例的時候，需要運用實際生活中的例子，并且采用循環結構，復習之前學過的平行的概念，然后講解直線與平面之間的平行關系，設計學生自我學習的板塊，完成提高學生實踐能力的教學目標；而且要做好教學的總結，在講解之后，對本節課的內容進行總結，找到不足，便于日后改進。
3.高中數學教師提高應用網絡教學資源的能力，保證應用案例的效果
高中教師提高自身應用網絡教學資源的能力，及時在網絡上找到可以借鑒的內容，既保證案例內容符合學生的興趣，也可以在瀏覽的過程中，擴大自身知識的掌握范圍。另外，數學教師在應用案例之前，還要在數學教研組中進行探討，綜合組內各位數學教師的意見，對設計的案例進行改進，保證應用案例的效果。
總之，高中數學教師提高設計和應用教學案例的能力，對提高教學的效果和培養學生的綜合能力都有正面的影響，高中校長和數學教師需要重點研究。除了文中提到的內容，設立數學教育專業的學校還要提高教學的水平，培養學生對教學案例的理解和設計的能力，為我國高中數學學科做好人才儲備。
參考文獻：
[1]沈 澄.數學教學模式改革的課堂教學實踐――以第十五屆全國多媒體課件大賽數學課件獲獎作品為例[J].中國職業技術教育，2016（5）：50-54.
為了上好這節課，我參考了別人的教學設計，吸收了他人的精華，煞費苦心設計了一些與眾不同的活動，作為這節課的亮點。其中有一項是稱一稱班里最胖和最瘦的同學的體重，為這事，我帶了家里的臺秤。上課了，我精神飽滿的走進課堂，前半節課進展的很順利，一切都按照預設進行：
（一）建立1千克=1000克，關于克你知道什么？能舉例子說明嗎？我手里的這塊磚頭大約有多重？猜一猜，驗證，于是引導出1000克可以用一個更大的單位1千克來表示。
（二）感受1千克有多重？先是拿出事先準備好的1千克裝的洗衣粉，味精，大瓶的飲料，食鹽，讓學生掂一掂，初步感受1千克的質量。緊接著讓學生舉例子說說身邊哪些物品大約重1千克？
（三）拓展延伸：對身邊的物品的質量能做出估計。我說：近段時間你們有稱過體重的請舉手？舉手的只有兩個我在課前稱過的同學。（幸虧稱了兩位同學的體重，要不今天的課就唱不下去了，我心里暗自慶幸）我們做一個猜體重的游戲。我先叫最瘦的閆澤同起來，讓大家猜一猜他的體重，每當一位同學說出一個數字時，閆澤同就做出相應的反應：輕了，重了。直到大家猜到他是26千克為止，學生興趣盎然。我說：現在請出我們班的重量級的人物王宇同學，大家來猜一猜他的體重。本來，我打算以班級最重和最輕同學為參照物，然后在最后的環節讓大家猜一猜自己的體重。誰知我的話音一落，教室里開始了騷動，一位學生就坐在自己的位置就迫不及待說：“他那么胖，起碼有50千克。”還沒等我做出反應，另一位就搶著說：“他胖得像頭豬，有3只狗那么重，有80多千克。”我看到了王宇面紅耳赤，他憤怒地喊：我胖，關你們屁事。底下的同學哄堂大笑，有的還幸災樂禍地說：快去減肥吧……你到底吃什么成這副德行的……此時學生的興趣轉到了王宇的“胖”上，場面失控了。我的頭一下子大了，于是我氣急敗壞在講臺桌上用力用教棍一敲，“要笑，是吧。誰笑請誰上來，讓他笑個夠?！睂W生見我大怒，藏起了臉上的笑容，心不在焉繼續游戲，可是，我和學生都沒有開始時的興趣，游戲草草收了場。這節課以我充滿信心開始，到我的勃然大怒落了帷幕。
下了課，我進行了反思：本來安排游戲“猜體重”，目的讓這節課錦上添花，想不到弄巧成拙。原因在哪里？想起王宇憤怒的表情，學生的哄堂大笑，自己的勃然大怒，我明白了教學應該更多關注每個學生的情感。由此可見，在教學實踐和反思中能鍛煉自己，發展自己。因此，有兩點是我該好好反思的：
1.預設不充分
課前不僅要備教材、備教案，更重要的是備學生，這個人人皆知的道理被我拋到腦后了。只想舉兩個典型的例子，既可以調節氣氛，又讓其他學生在預設好的范圍里猜測自己的體重。可我忽略了平時有些同學經常拿肥胖嘲笑王宇的，“肥胖”已成為他的“痛”。我的無意正中他們的“有意”。如果我平時多了解學生，還會拿他做例子嗎？還會失敗嗎？課堂猶如戰場，我作為一個每天都要上戰場的士兵，不做好充分的準備怎能打贏戰斗呢？
2.當課堂出現意外時，我該想盡辦法引回預設的軌道，還是將錯就錯？
有人說過：作為教師，應善于捕捉課堂教學中生成和變動著的各種有價值的信息，作為活的教育資源，努力創造條件去扶植它，栽培它，讓擦出的火花熊熊地燃燒起來。
事后我想：既然他們興趣已轉移，何不順水推舟呢。不防這樣設計：我故意深沉說：“是呀，一個人太胖或太瘦本來就不舒服，還招來別人異樣的目光，甚至是嘲笑，這些是不是不道德的呢？我的弦外之音應該讓大部分同學明白自己的過錯。這時，乘機說：其實一個人的體重是標準的不多，想知道自己的體重是否標準嗎？（愛美之心，人皆有之，自然地把他們的注意力重新吸引過來）。
關鍵詞：教學案例；教材分析；學情分析
一、教材分析
“平行線的特征”是北師大版七年級數學（下冊）第二章第三節的內容。它是在學生已經初步了解并且學習了平行線的概念、平行線的判定等內容的基礎上進行教學的。它是直線平行的繼續，是空間與圖形領域的基礎知識，是后面學習和研究平移、三角形內角、三角形全等、三角形相似以及平行四邊形等知識的基礎，所以學好這部分內容至關重要。
二、學情分析
1.學生的知識技能基礎
通常，平行線的基礎學習在小學階段已經開始，因此，學生對其特征有一定的了解，只是還不夠深入。在學習“平行線的特征”之前，學生已經學習了平行線的判定方法，并能夠利用其解決一些問題，讓學生對同位角、內錯角和同旁內角的概念及應用有了一定的了解，這些知識儲備為學生接下來的平行線特征學習奠定了良好的知識技能基礎。
2.學生的活動經驗基礎
在前面知識的學習過程中，學生已經經歷了一系列的數學活動，積累了初步的數學活動經驗，具備了一定的圖形認識能力、借助圖形分析能力和解決實際問題的能力，并且初步掌握了在直觀認識的基礎上進行合情說理和直觀與簡單說理相結合的方法，初步感受到推理說明的必要性與作用。同時，在以往的數學教學中，學生已經經歷了多次合作學習的過程，具備了與同學溝通交流的能力，積累了相當多的合作學習經驗。
三、教學目標
從整體上看，數學課程教學目標包括結果目標和過程目標。結果目標使用“了解、理解、掌握、運用”等術語表述，過程目標使用“經歷、體驗、探索”等術語表述。
1.知識與技能
通過本章節的學習，要讓學生充分掌握平行線的特征，能利用其特征解決相關數學問題。
2.過程與方法
在平行線的特征教學過程中，要讓學生經歷觀察、猜想、比較、聯想、分析、歸納、概括的全過程。通過對平行線的特征的學習，使學生逐漸形成數形結合的數學思想，以及提高學生的建模能力、創新意識和創新精神。
3.情感態度與價值觀
在探究活動中，讓學生獲得親自參與研究的情感體驗，增強學生學習數學的興趣和熱情，培養學生團結協作的精神，激發學生探索未知知識的欲望。
四、教學重點和難點
本章節的教學重點是平行線特征的探索及應用。教學難點是平行線特征的探究和平行線的判定與特征的區分以及綜合應用。
五、教學設計
《義務教育數學課程標準》強調：“數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程；動手實踐，自主探索，合作交流是孩子學習數學的重要方式；合作交流的學習形式是培養孩子積極參與、自主學習的有效途徑?！北菊n堂將以“生活?數學”“活動?思考”“表達?應用”為主線開展課堂教學，以學生看得見、感受得到的基本素材創設問題情境，引導學生活動，并在活動中激發學生認真思考、積極探索，主動獲取數學知識，同時通過小組內學生相互協作探討，培養學生的合作性學習精神。
六、教法和學法
為了避免傳統的單向灌輸式教學帶來的不良后果，教師要注意轉變觀念、轉換角色，讓學生真正成為課堂的主人，在課堂中選用引導探索、自主探究、合作交流等教學方法，希望通過這些教學方法，讓學生形成自主學習、合作學習的良好習慣。
在學習方法上，教師要注意引導。俗話說：“老師引進門，修行靠個人?！币虼?，學生要主動動手畫圖、測量、對比，主動動腦猜想、討論、分析、思考，在自主探索的活動過程中形成自己獨有的觀點，逐步培養學生勤于動手、樂于思考、勇于表達的學習習慣，提高學生的學習能力。
七、教學設備和教輔用具
在數學教學前，必要的工具準備是必須的，比如，多媒體、相關課件、三角尺、量角器、剪刀以及其他紙質模型等。
八、教學過程
1.創設情境，設疑激思
（1）提問導入
首先，教師可以在教授知識前，設置一個導入性的問題。譬如：“日常生活中我們經常會遇到平行線？能說出直線平行的條件嗎？”學生思考后回答時可能說出以下答案：①同位角相等，兩直線平行；②內錯角相等，兩直線平行；③同旁內角互補，兩直線平行。如果學生不能完整地回答，教師應當做一些適當的補充。
（2）深入再問
這是導入問題后的第二個步驟，在第一個問題的基礎上再一次提出問題。接下來，可以結合圖形提問，例如，“如圖1是在三星堆考古工作中發掘出的一個殘缺玉片，工作人員復原后發現其形狀是梯形（如圖2），并且已經量得∠A=115°，∠D=100°。你能不能求出另外兩個角的度數？”帶著這個問題，教師就可以引出本課堂的內容，即平行線的特征（板書在黑板上），由此引出課題。
設計意圖：通過復習平行線的判定和生活中的實例來引入新課程，一是溫故知新，促使學生實現知識思維的正遷移；二是提高學生的學習興趣，激發學生探索知識的熱情，使學生認識到數學來源于生活，又服務于生活。
2.數形結合，探究特征
（1）畫圖探究，歸納猜想
教師提要求，讓學生實踐操作。比如，讓學生任意畫出兩條平行線（a∥b），畫一條截線c與這兩條平行線相交，標出8個角（注：統一采用阿拉伯數字標角）。接著教師可以提出研究性問題一：請指出圖中的同位角，并度量這些角，把結果填入下表：
緊接著教師提出研究性問題二：將圖中的任意一對同位角剪下后疊合。
學生活動一：畫圖―度量―填表―猜想
學生活動二：畫圖―剪圖―疊合
讓學生根據活動得出的數據與操作得出的結果歸納猜想，如兩直線平行，同位角相等。
最后，再提出研究性問題三：再畫出一條截線d，看你的猜想結論是否仍然成立？
學生活動：探究并進行小組討論，從而得出結論仍然成立。
（2）展示平行線的特征
兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡記為：兩直線平行，同位角相等。
設計意圖：此環節為本課堂的重點內容，所以給學生留有充分的操作和探索空間，讓學生通過測量、剪拼、猜想、討論、歸納概括出平行線的特征，讓學生在充分的活動中能發揮自己的聰明才智，用不同的方法來驗證結論，開拓學生的思維，培養學生的創新能力，也讓學生體會從特殊到一般的數學思想。當然，最重要的是培養學生的操作能力，為以后探究更多更復雜的圖形性質打好基礎，積累經驗。
3.合作探究，歸納結論
教師提出研究性問題四：請判斷兩條平行線被第三條直線所截，內錯角、同旁內角各有什么關系？
學生活動：獨立探究―小組討論―成果展示。
教師活動：評價學生的研究成果，并引導學生進行簡單的
說理。
如圖3，因為a∥b（已知）
所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
又因為∠1=∠3（對頂角相等）
所以∠2=∠3（等量代換）
又因為∠1+∠4=180°（鄰補角的定義）
所以∠2+∠4=180°（等量代換）
教師展示：
平行線的特征2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相
等。簡記為：兩直線平行，內錯角相等。
平行線的特征3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡記為：兩直線平行，同旁內角互補。
設計意圖：通過學生的自主探究和師生之間的合作交流，讓
學生體會與他人合作的重要性，體會轉化、歸納的數學思想。在說理和歸納的過程中，鼓勵學生大膽發表自己的見解，培養學生的推理能力和語言表達能力。
4.辨析關系，加深理解
教師提出研究性問題五：平行線的判定與平行線的特征有什么區別和聯系？
學生活動：獨立思考―填寫下表―成果展示。
教師活動：歸納總結――證平行，用判定；知平行，用特征。
設計意圖：通過表格的填寫，讓學生從結構特征上明晰平行線的判定和特征的區別與聯系，加深對結論的理解，明確在解決具體問題時如何選擇運用判定和特征。
5.實際應用，深化理解
為了深化和鞏固所學知識，教師應當舉一些典型的例子進行講解。
例1.如圖4，已知AD∥BC，AB∥DC，∠1=100°，求∠2，∠3的度數。
例2.如圖5，一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么關系？∠2與∠4呢？（2）反射光線BC與EF也平行嗎？
設計意圖：例1是特征的直接應用，例2是判定與特征的綜合應用，題目的難度都不大，主要是讓學生體會知識的應用和推理論證過程，感悟推理的依據和結論之間的關系，養成合情推理的習慣。例2要求學生進行小組討論、綜合分析、自主提高，使學生能夠靈活應用平行線的判定和特征來解決問題。
6.練習鞏固，應用提高
課后教師應當布置一些練習題目，比如，1.解答本課堂前面提出的“殘缺玉片”問題；2.課本隨堂練習。
設計意圖：通過布置練習題的方式，既鞏固了新知，又訓練了學生思維的靈活性與開闊性，還能讓教師及時發現問題，做好評講糾正工作。
7.梳理反思，感悟收獲
最后教師可以進行總結性的提問，如：談談本課堂你的收獲？
（1）學生總結：a.平行線的特征；b.平行線的判定與特征的
異同。
（2）教師補充總結：a.用“運動”的觀點觀察數學問題（如我們前面將同位角剪下疊合后分析問題）；b.用數形結合的方法來解決問題（如我們前面將同位角測量后分析問題）；c.用準確的語言來表達問題（如平行線的特征表述）；d.用邏輯推理的形式來論證問題（如我們前面對特征2和3的說理過程及例題的解答過程）。
設計意圖：引導學生對知識進行再回顧，加強理解，形成知識體系，為運用打牢基礎。
8.分層作業，培養能力
進行總結性發問后，教師還要布置適量的作業，并把作業分成必做題、選做題以及實習作業等，這就是檢驗學生是否將知識消化的措施。
設計意圖：學生可以根據自己的學習水平去自行選擇選做
題，減少不必要的作業負擔，使不同層次的學生得到不同的發展。通過作業進一步鞏固所學知識，使之學有所用。
數學教學要注重引導學生探索與獲取知識的過程，而不僅僅是注重學生對知識內容的汲取，因為“過程”不僅能引導學生更好地理解知識，還能夠引導學生在活動中思考，更好地感受知識的價值，增強應用數學知識解決問題的能力；能夠感受生活與數學的聯系，獲得“情感、態度、價值觀”方面的體驗，讓學生親身體驗到數學知識來源于實踐，從而激發學生的學習積極性。同時，課堂設計為學生提供了大量操作、思考和交流的機會，學生通過“操作―思考―交流”的過程層層深入，最終得出了平行線的三個特征。通過這樣的過程，學生逐步體會到數學知識的產生、形成、發展與應用的過程。另外，在教學過程中還需要注重引導學生在具體操作活動中進行獨立思考，鼓勵學生發表自己的見解。通過自主發現問題、探索問題、獲得結論的學習方式，還有利于培養學生獨立思考的能力。當然，筆者的教學方式也有一些不足之處，駕馭課堂的能力還有待加強。
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1.令人揪心的到課情況
最近幾年，一直留心面授課的到課人數，規律卻是非常明顯。除開學和結束復習，一般到課人數是班級總人數的百分之三十。雖然面授課往往采用單元化教學，而且教學內容也作模塊化處理，但是數學課的系統性強于其他課程，在職的學員有時候會因為工作不能按時參加面授課的學習，聽課的不連貫給后續學習造成極大的困難。尤其在天氣突變的月份，看著班級里稀稀拉拉的十多個學員，心里就會犯嘀咕，這課到底要怎么上？
2.困難重重的網上學習
開放教育的學習以自主學習為主，輔以一定的面授輔導，學習具有極大的自由度。網上學習因此成為教學設計中最最重要的一個環節。在實際中，這個環節實施情況如何呢？每次課程開始時，向學員介紹學習方法。其中重點是如何IP課件和網絡課程，如何在BBS中發帖提問。但教學過程中，發現學員的學習仍以面授輔導為主，所提問題都是課堂教學中的練習。難道沒有人看IP課件嗎？不充分利用豈不可惜。做過多次訪談后發現觀看人數很少，而且不能堅持。看過的學員告訴我，他把一段視頻看了三遍，最大的困難是來不及反應，跟不上老師的節奏；在做練習的時候還是不大會。BBS的發言對數學課程也是一大難點，因為BBS只支持文字，不能輸入數學的符號、公式，通常是先做WORD文檔，然后作為帖子的附件。怎么才能問問題？我給學員的辦法是：書上的問題，寫清頁碼和題號；其他問題不會的就用手機拍攝下來，然后以附件的形式發帖。雖然有些麻煩，但相比使用公式編輯器要方便許多。實踐下來，學員還是很樂意用這個方法。
3.形同虛設的學習小組
每個學期都會對教學班的學員分成若干個學習小組，每組人數控制在15人以下并且確定組長。但是直到學期結束，也不見小組學員的活動。學員的居住地比較分散，工作時間不一致，每個小組都有些學員只在考試時才會見到，這個學習小組怎么活動？
4.理想中的核心學習團隊
現在只是一種設想，但總是組建不起來。每個教學班都會有部分學員數學基礎比較扎實，時間比較寬松，尤其是有強烈的學習欲望。如果能夠把這些學員發掘出來，組建成核心學習團隊，他們將成為輔導教師的左膀右臂，在整個學習過程中能發揮出意想不到的潛能。他們可以向同學推介學習方法和課程資源，傳遞學習資料，代替輔導教師實時解答學員的問題，帶動周圍一批學習上有困難的學員共同學習進步。如果能夠達到設想的效果，這個學員的核心學習團隊將成為教學班的主心骨。
二、案例評析
遠程開放教育面對的學習對象的顯著特點是：在職比例高，專業背景復雜，需求多元化，學科基礎較差，年齡層次跨度大。輔導教師在開展教學時必須充分考慮具體的學習者，充分利用各種有效資源，在教學手段上也應該嘗試創新，使之能積極有效地調動學員的主觀能動性，以適應成人的學習特點。
1.必須要有分層教學的意識
分層教學符合由低級到高級、由表及里、由淺入深、由具體到抽象、由感性到理性的循序漸進的認識規律，針對學生的水平及能力的差異，向不同層次的學生進行分層教學，體現了因材施教的原則，符合教學的可接受原理，讓學生都在“最近發展區”得到不同程度的發展。針對學生差異懸殊的實際情況，輔導教師在教學方法的選擇運用上，應在確保完成教學目標的前提下兼顧學生的個體需求，實施分層教學，使學員同步提高，共同發展，分層達標。在確定導學目標時要兼顧多種不同層次的學生，以適合不同層次學生的學習需求。面授輔導中要減緩梯度，講授學科知識以必需、夠用為度；要采用多種策略降低或減緩學習難度；創建簡單新方法，如分部積分中的列表算法。
2.強化學導互動，循序漸進地培養學員自主學習的能力
在遠程教育中，輔導教師除面授教學外，更多的是擔當學員學習的引領者的角色。強化學導互動應當是輔導教師的一項重要工作。通過互動，創造一個令學員身臨其境的教學氛圍，激發學員的學習興趣，闡明學員在學習中應注意的問題，有效拉近教與學的距離。學導互動包括：人人互動、人本互動、人機互動。強化學導互動，可以使學員在艱苦的學習中逐步提高興趣，掌握學習規律和方法，提升學習能力，有效提高學習效果。培養學習者的自主學習能力也是遠程教育的一個目標。強化學導互動，體現了教學者對學習者自主學習的持續關注；而有針對性的教學設計，能夠幫助學員建立自主學習的信心。輔導教師要設法通過多種途徑，引導學生開展自主學習，循序漸進，從而達到提高學生自主學習能力的目的。
3.適當改變授課方式，吸引學生到課
學員對面授課的重視程度是影響學員學習效果的一個重要因素。輔導教師應該適時改變授課方式，做到重點難點精講并且加強教學互動，使學員在相互促進的情況下盡可能學到更多的知識。對于合適的內容可以結合實際問題進行案例式教學，更加通俗易懂，學員更容易深刻地理解和掌握所學知識，使學員認識到課程的實用性，感覺到不來上課是一種遺憾。同時可以借助課件，直觀地展示教學內容，形成較強的視覺沖擊力，學生學習后記憶時間較為長久，不容易遺忘。開放教育的輔導教師，不應僅僅具備IQ，更要有EQ。從某種意義上講，情商甚至比智商更重要。多媒體教學對激發學員學習經濟數學的興趣也有一定的作用效果，多媒體教學比較符合成人理解能力強、記憶能力差，短時突擊功利性強、長時探索意志性差的特點，以及缺少大段學習時間的情況，在面授輔導及網上學習中可以配合使用。
4.實踐教學活動
經濟數學基礎課程的實踐教學活動是指課內練習和課外實踐。課內練習是適量的作業練習及解題分析，促進學員掌握解題方法，熟悉一些基本概念、性質、定理等。課外實踐則是將理論與實踐相結合，可以安排在網上的課程論壇里進行。輔導教師不妨設計一些引導大家討論的內容或者是本學科現實的一些熱點話題，學員在輔導教師的引領下，尋找課本與現實生活中的“數量關系”，達到學以致用，形成從實際問題中來，到實際問題中去的教育模式。通過這樣的方法，使所學內容形象化、生動化，更具親和力，更適合學員的整體發展。通過實踐教學，在教給學員一些數學知識的基礎上培養了學員的數學思維、數學素質和綜合運用數學工具的能力。
5.提供持續關注的支持服務
一、了解案例的結構要素
1．背景。介紹一堂課，就有必要說明這堂課是在什么背景情況下上的，是一所重點學校還是普通學校，是一個重點班級還是普通班級，是有經驗的優秀教師還是年青的新教師執教，是經過準備的“公開課”還是平時的“常態課”，等等。背景介紹并不需要面面俱到，重要的是說明故事的發生是否有什么特別的原因或條件。
2．主題。案例要有一個主題：寫案例首先要考慮我這個案例想反映什么問題，是想說明怎樣轉變差生，還是強調怎樣啟發思維，或者是介紹如何組織小組討論，等等。動筆前都要有一個比較明確的想法。
3．情節。有了主題，就可以對原始材料進行篩選。比如，介紹教師如何指導學生掌握學習數學的方法，就要把學生怎么從“不會”到“會”的轉折過程，要把學習發生發展過程的細節寫清楚。
4．結果。案例不僅要說明教學的思路、描述教學的過程，還要交代學生學習的結果。
5．反思。反思是在記敘基礎上的議論，可以進一步揭示事件的意義和價值，不一定是理論闡述，可以就事論事、有感而發，引起人的共鳴，給人以啟發。
二、寫好案例的關鍵
1．選擇復雜的情境。教師在教育教學活動中面臨著各種各樣的問題情境，需要進行判斷、選擇，作出決定。復雜的情境提供了更多的選擇、思考和想象的余地，因而給人以更多的啟迪。
2．揭示人物的心理。人物心理的重要方面是學生的心理活動。由于案例一般是教師撰寫的，注意力容易偏重于教師這一方。自己怎么想的，怎么教的，主觀認為教學效果如何，可以娓娓道來，自我感覺良好；但學生的心里是怎么想的，對教學效果的看法是否與教師一致，往往被忽略不計了。人們常說“備課要備兩頭”：備教材，備學生。真實地反映學生在學習過程中的想法、感受，是寫好案例的重要一環。
3．具有獨到的思考。同一件事，可以引發不同的思考。從一定意義上來說，案例的質量是由思考水平的高低所決定的，要從紛繁復雜的教學現象中發現問題、提出問題、解決問題，道出人所欲知而不能言者，這需要一雙“慧眼”。
三、案例的表現形式
