時間：2023-06-22 09:24:26
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Abstract： In mathematics education, the research purposes of mathematical issues proposing are mainly in the following aspects: the solution of mathematical issues, the improvement of student's problem consciousness and self-study ability, students' mathematical thinking and reading, and the training method of mathematical issues proposing. This paper puts forward that mathematics educators and researchers should take the self-monitoring as research purposes of mathematical issues proposing through the commentary.
Key words： mathematical issues proposing; research purposes
中圖分類號：G42文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）02-0249-01
1研究背景
在眾多的數學教育雜志中，我們能順手拈來研究者們的解題技巧和精心設計，可以說很多數學教育實踐者及研究者都默認解題策略研究是主流和他們的本分，他們對“問題解決”的理解可能已經步入尋求解答問題的多樣化階段。而現在從某種意義上講，做數學題仍是學生要被動完成的任務，而不是彰顯創造成果的平臺。在新課程改的大旗下，創新精神和實踐能力成了學生培養的重點，創造不僅是困難問題的解決過程，更應該作為“問題解決”局限性的一種自覺批判和突破，是求取解答并繼續前行的螺旋式上升的循環過程，也是提出問題和解決問題并存的數學思維過程。如果“問題解決”的現代研究是對波利亞“數學啟發法”的超越[1]，那么，“提出問題”是“解決問題”在數學學習方法上的一次質的跨越式發展。數學問題提出指學生對意識到的情境進行加工和組織，然后用語言、圖形或圖像等可感的形式表達出來，并傳遞給自己或他人。
2數學問題提出目的的研究綜述
2.1 以數學問題解決為目的的研究視“問題提出”為有效解決具體數學問題的手段。數學問題的解決包括對初始問題連續的再闡述，對一個復雜數學問題的解決過程。包括：提出一些關聯的更精煉更經典的數學問題，這些問題更能體現已知信息與目標之間的關系，這一系列問題提出的同時，也將總的解決問題的目標分解為一層層的子目標，通過逐次對子目標的實現，達到對原問題的最終解決。
2.2 以提高學生問題意識為目的的研究視“問題提出”為強化學生問題意識的必要手段。俞國良等是這樣認識問題意識的產生過程的：當主體遇到問題情境時，首先要檢查自己的認知結構，并和當前認知情境進行比較，若已有認知結構可以解釋或解決當前任務，認知很快處于平衡狀態，這時問題意識不會形成；但如果已有認知結構不能解釋或解決當前問題情境時，認知便處于不協調狀態，個體思維便開始自我監控，等監測到問題的狀態、類型、性質、目標和特征時，就進行思維和表征轉換，以達到對問題屬性的聯系和記憶，然后調動認知資源和知識儲備，聯系問題情境產生問題意識[2]。因此，我們可以認為，問題意識是指學生在原有的知識結構上注意到一些難以利用已有知識解決的、疑惑的實際或理論問題時，在自覺思維的狀態下產生的懷疑、困惑、焦慮、探究的心理狀態，這種自覺思維的心理狀態驅使學生積極思維，不斷提出問題并解決問題。
2.3 以自主學習為目的的研究視“問題提出”為有效學習的手段。自主學習，是指學習者自覺確定目標、選擇學習方法、監控學習過程、評價學習效果的過程[3]。在學生被鼓勵成為自主者進入學習狀態的那一刻，提出問題是自然而然并經常發生的。然而，學生在課堂上學到的在考試中得心應手的數學解題方法和解題規律便成了創造的大敵――思維定勢，嚴重妨礙他們求異思維的發展，使得發現問題和提出問題受阻。我們認為，自主學習可以真正發展學生的求異思維，形成問題意識。
2.4 以提高學生數學思維為目的的研究視“問題提出”為優化學生思維方法、改善學生思維結構的重要途徑。在普通教育中老師被要求“授之以漁”而非“授之以魚”，學生在課堂上學到許多數學解題方法和解題規律，而學生一旦擁有了眾多的解題方法和解題規律，定勢思維便占據了思維的全過程，使得他們不能發現問題，提出問題。
2.5 以提高學生數學閱讀為目的的研究視“問題提出”為提高學生數學閱讀水平的必由之路。艾勒騰使用創造性寫作作為一個窗口來探測學生的數學理解能力，他認為：“學生通過創造自己的問題來表達數學觀念，不僅展示了他們對數學概念發展的理解水平，而且也反映了他們對數學本質的理解能力。”[4]
2.6 以培養數學問題提出方法為目的的研究國外學者對提出問題方法的研究有頗多著述，其中最重要的當屬布朗和沃爾特出版的《提出問題的藝術》（The Art of Problem Posing）[5]。他們在對提出問題進行大量實證研究的基礎上，得到一個很有用的方法――對原問題進行探究和有目的地改變其屬性來產生新問題，即所謂的“what-if-not”法（如果它不是這樣，那又可能是什么呢？）。
在國內，以貴州師范大學呂傳漢為代表的數學教育跨文化研究所提出了“數學情境與提出問題”的教學模式[6]，其程序步驟可以總結為：教師精心創設數學情境――師生共同探索情境――學生的認知失調――發現并提出問題，在問題解決的活動中實現自主學習，達到應用數學知識解決問題的目的。
3本研究的展望
對于以上研究的數學問題提出目的，不管是通過對情境的探索產生新問題，還是在解決問題過程中對問題的再闡述，提出問題和解決問題都圍繞一個個問題鏈，即就是：提出問題解決問題提出較高層次的問題解決較高層次的問題提出更高層次的問題……如此形成一個螺旋式上升的過程。事實上，對有能力的問題解決者來說，一個問題的解決往往意味著新問題的產生，而學生在平常學校生活中需要的能力是綜合的，對于普遍存在的學生解題自我監控能力偏差問題，還有待于深入的研究。
參考文獻：
[1]鄭毓信.數學思維與數學方法論[M].城都：四川教育出版社，2001:24-26.
[2]俞國良，候瑞鶴.問題意識人格特征與教育創新中的創造力培養[J].復旦教育論壇.2003，1（4）：11-15.
[3]宋艷萍林蕓論英語學習中的自我評價與自主學習[J].《教學與管理》2007，（3）：93-94.
[4]李兆祥.知識分類與提出數學問題[J].數學通報，2005，44（11）：25-27.
關鍵詞：高中數學；探究；問題呈現
在新課程走過的這些年里，數學探究已經成為數學教學研究中的一個常用語，這說明了新課程的相關理念已經成為高中數學教師的一種自然意識. 但有意思的是，數學探究這一概念對于很多同行而言，可能還停留在探索研究的理解上，對于《普通高中數學課程標準》（實驗稿）提出的“圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程”的表述，以及其他關于數學探究的文獻中的表述，卻沒有給予太多的重視與關注，因而導致了從課程改革到現在，數學探究還停留在相對較淺的層面，應當說這是數學課程改革的一點不足. 從這個角度看，我們有必要對數學探究本身進行探究.由于數學探究涉及多個層面，又由于篇幅所限，本文主要以數學探究中的問題呈現為例談談筆者的看法，對于其他層面則做附帶性的簡述.
[?] 數學探究中問題呈現新思考
要深入理解數學探究，還是離不開數學探究這一概念及其定義的，事實上對概念及定義缺少理解，也是產生對數學探究只有經驗性解讀的根本原因. 根據國內高中數學同行及有關專家的研究，基于課程標準且更具針對性、科學性的定義是，“數學探究”指的是“學生圍繞某一個問題情境，通過觀察分析數學事實，以提出有意義的數學問題并解決問題的過程”. 在這個過程中，“情境表述”即產生問題的情境，以及“問題表述”被提高到一個新的高度. 也就是說，高中數學教學中，固然要重視探究過程的完成，但對于所探究的問題如何得出，或者說怎樣讓學生提出有意義的探究問題，成為數學探究的一個重要施力點.
這一點與常規情況下對數學探究的觀點是不一樣的，一般情況下我們認為讓學生探究的數學問題可以由教師提出（盡管實際教學中也是反對學生提出的，但總的來說真正由學生提出的可探究問題并不多），數學探究的重心在于探究過程. 而現在強調探究問題的提出，是對數學探究基礎的重視與回歸，某種程度上講，具有愛因斯坦所說的“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”的含義. 事實上，如果我們暫時不談高考的要求（準確地說，是目前的高考中還沒有出現考查學生提出問題能力的題型，因而沒有出現這種性質的導向作用），我們就會更為客觀地發現提出問題，對于高中學生的數學學習具有更為重要的作用. 曾經有很多高中數學同行在論文中都提出一個觀點，就是當學生有了提出問題的意識之后，當學生在某個知識點的學習中有了問題并得到解決之后，他們對相應知識點的理解是超過單純的聽的效果的，這也打消了研究問題的提出會影響學習質量的擔心.
那么，問題不是由教師或課本提出，學生怎樣才能提出有意義的探究問題呢？關于這一點，我們的共識是：不是簡單地在陳述句前面加一個為什么，而應該向學生提供合適的素材，讓學生在一定的情境中去提出問題.
[?] 數學探究中問題呈現再實踐
結合以上分析，我們在教學實踐中進行了一些嘗試，這些嘗試有的是專題性質的，也有的是穿插在日常的數學知識教學中的. 現將實踐所得到的一些認識形成文字，以與同行切磋.
首先，我們認為要想讓學生提出有探究意義的問題，必須有合適的素材.
這里所說的“合適”，不完全是指合乎高中數學學習的需要，更指符合他們的興趣與求知需要. 興趣需要是不言而喻的，有了興趣才會有探究的動力，而求知的需要則更多的是一種認知平衡的打破，亦即讓學生去發現已有知識的體系是不能解決新問題的. 根據這一認識，我們進行了一些課例探究.
課例一：圖象與函數. 在高中數學學習中，為了加強學生對函數的理解，必須讓學生認識到函數可以描述具體的圖形，認識到函數是一種數學語言. 除了課本上提供的三角函數、曲線函數外，我們還可以將其拓展到數學發展史上的其他事例.
筆者在課例中向學生提供的是“阿基米得螺線”. 阿基米得螺線在數學發展史上具有重要地位，在生活中也有類似的情形，因此容易激起學生的興趣和求知欲.具體做法是，筆者首先讓學生自己去想象出一個阿基米得螺線，具體方法如下：
第一步，想象生活中盤狀蚊香；想象從螺絲的尖端看螺絲的螺紋. 教師也可以提供這些實物或投影片，以讓學生直觀感受，然后再讓學生回憶，以在大腦中形成良好的表象，以建立一定程度的形象思維.
第二步，想象一根可以繞固定點轉動的長桿在轉動，然后一個小蟲在桿上爬動，想象整個過程中小蟲爬出的軌跡. 對于某些想象能力差的學生，可以用圓規作為教具繞點轉動，用一個粉筆頭比作小蟲在圓規上由內向外爬，然后讓學生去想象小蟲的運動軌跡.
第三步，介紹生活中其他例子，如螺絲身上的螺紋等.
有了這樣豐富的情境作為支撐，就可以引導學生去提出問題：這樣美的曲線在生活中如此常見，引起了數學家的高度興趣，面對阿基米得螺線，你們有什么探究的欲望呢？我們的教學目的自然是讓學生想到用數學語言去描述數學事物，而這一問題只可能產生于學生具有良好的數學意識，進而我們又發現這種數學又來源于日常教學中的積累，因此每學習一個數學知識，都需要跟學生強化數學語言的認識. 事實上，本課例并不完全在于要求學生能夠提出教師想要的問題，關鍵是培養學生一種提問的意識與能力，讓他們自己生成數學問題來源于數學事例中的意識.
其次，要想讓學生提出有意義的探究問題，教師應當向學生提供“原始問題”.
原始問題來源于首都師范大學邢教授的研究成果，數學作為物理的工具，與物理具有密不可分的關系. 在高中數學教學中，利用物理現象提生數學探究問題的土壤，可以讓數學探究變得更為真實. 而且通過這種學科之間發生的聯系，可以培養學生的數學視野與對數學的認識.
課例二：曲線方程. 曲線方程是高中數學的一個重要知識，新課學習中其都是在不同階段呈現的，如何讓學生對曲線方程形成一個完整、統一的認識呢？這是必須探究的一個問題. 而且我們注意到，類似于這種問題的探究，還有助于學生形成比較好的學習品質，讓學生不僅得到一個良好的認知結構，更能夠生成較好的學習方法.
我們向學生提供的原始問題是這樣的：小明看到木匠師傅要得到一個特殊形狀的木板，就在一個平面內確定了兩個固定點A、B，其用一根線系住兩個點，然后用鐵釘將這根線向外拉直至繃直. 這個時候如果你是木匠師傅，你想得到的是什么形狀的木板，你會怎么做？當學生對這個問題有了回答之后（預期答案是“畫出一個圖形”）；還可以引導學生生成“這個圖形會是什么形狀（預期答案是“橢圓”），可否用學過的知識來尋找曲線方程”等問題. 尤其是在此基礎上，我們可以引導學生生成“今天研究圖形所用的曲線方程與已經學過的哪些類似，有什么聯系，又有什么區別”等問題. 這樣就可以將橢圓與雙曲線形成一個整體的認識，從而將雙曲線和橢圓兩知識組塊合成一個，進而增大學生的記憶容量.
分析這一過程，我們可以看到最初提出的情境并沒有明顯的數學語言，有的只是一個生活情境，而這個情境中顯然又包含著數學知識. 因此我們說這樣的情境就是一個原始問題的情境，利用這個情境讓學生生成問題，可以培養學生良好的數學探究意識. 事實上在教學實踐中，我們看到起初在呈現這種原始問題時，學生往往無所適從，因為習慣了常規探究問題的學生不知道如何在這種原始事例中尋找數學知識，更加談不上產生數學探究的問題了. 而經過了多次這樣的訓練之后，學生又很容易生成這樣的數學問題與探究意識. 這說明通過原始問題來培養學生的數學探究問題呈現的能力是有效的.
[?] 數學探究中問題呈現再思考
作為數學探究的開端，問題的作用是不言而喻的，數學探究的價值在于探究環節本身，根據高中數學教學的國內外比較研究結果，數學探究所包含的五個因素中，有兩個因素與問題相關. 因此從提高學生數學素養的角度來看，對于問題呈現的研究價值也是顯而易見的. 我們要做的很大程度上是在應試的壓力下，本著數學探究的本義去實施探究.
1995年高考數學命題中引入數學應用題，這一舉動影響著全國的基礎教育，尤其是高中數學教學. 處在教學第一線的數學教師開始參與數學應用題的編制與教學研究. 下面與同行談談我也被卷在其中的經歷，以期共同探討研究.
（一）第一階段――課堂內外引領學生應用實踐，教學之余編制數學應用問題
1995～1999年，由于數學應用問題教學的需要，在數學教育專家引領下，數學應用問題編制與研究開始在全國各地興起. 許多中學數學雜志在此領域大量發表文章，尤其是《數學通訊》雜志集中報道數學應用方面的研究成果. 但是，在中學數學第一線，教師的數學應用意識與應用問題教學意識都不強，教師數學應用問題的知識儲備也不足，再加上學生的社會實踐知識欠缺，閱讀理解力的薄弱，面對高考數學應用題時，學生的應試心理一般處于恐懼或放棄狀態.
1.編制適合中學生的數學應用問題，研究中學數學建模問題
此時我開始潛心思考，從現實生活中尋找信息與資料，編制具有活生生現實背景的數學應用題，并發表在《數學通訊》等雜志上，還將編寫的數學應用題分類匯集，編著《用數學眼光看世界》一書. 如下面例題，在當時起到較好的引導作用.
例1 為了提供更加優質的教育，增加大學生就業崗位，某地區準備逐步實現小班化教育，將學生人均教室面積由1 m2提升至x（m2），x≤2，調整教師人均辦公室面積為
y=f（x）=4， 1≤x
ax+b，1.5≤x≤2.
如圖1，
①確定a，b的值及函數f（x）值域；
②實行小班化，對教室改造投資中，投資額P（萬元）與x之間的關系是P=exf（x），探求教室改造投資的最大值；
③對辦公室進行改造的投資中，投資額Q（萬元）與y之間的關系是Q=5y3-3cy2+180，c為正常數，探求辦公室改造投資的最小值及相應c的范圍.
2.利用周末時間帶領學生開始數學應用實踐和實習活動，增強學生應用意識
數學應用意識的培養不僅可以通過數學應用問題的教學，還突出地表現在數學應用實踐中. 在周末組織學生開展數學應用實踐活動，如利用簡易工具測量鑒湖明珠電視塔高度以及與觀測點距離問題. 學生不僅創造性實踐（多種測量方式），而且撰寫了2000字左右的實習報告，將實習過程、測量方法、測量所使用的數學原理、測量后所建立的數學模型，一一總結記錄，并寫下自己的實踐感想.
（二）第二階段――數學教學加大數學應用問題教學力度，探究數學應用題的教育功能
進入新世紀，新的課程改革措施出臺，在以培養中學生的創新意識和實踐能力為總目標形勢下，中學的數學應用問題教學有所加強. 高考數學試卷中的數學應用題分值不斷增大，數學應用題命題更加貼近學生的生活實際和認知水平. 學生面對數學應用題時開始充滿自信，各地高考數學應用題的成績不斷提高. 在這一階段全國的中學數學雜志上有關數學應用的文章層出不窮，為各地中學教師開展數學應用問題教學提供素材.
1.數學應用問題的教育功能開發
數學應用問題教學的目的是提升中學生的數學應用意識，培養中學生的數學應用實踐能力.開發數學應用的教育功能除了它對數學思想方法的深入理解外，讓學生通過一個個“活”的數學應用問題，體會問題背后所隱含的環境保護、再生資源利用、愛心感恩、資源利用最優化等.
2.開設數學應用問題講座，普及中學數學建模方法
為了普及中學數學建模思想方法，除了課堂上的數學應用問題教學之外，利用課外活動或研究性學習活動時間開設數學應用問題講座，使數學應用教學形成一個完整的體系，給中學生一個數學應用問題全貌.
3.挖掘課堂教學案例，提升中學生的實踐能力與創新意識
在數學教學過程中，常常會遇到一些不可多得的智慧火花，開發它，會引發無限的創造力.
例2 利用正方體框圖，請你構造一個面數大于6的多面體.畫出你設計的多面體的直觀圖，數一數它們有多少棱、多少個面、多少個頂點.
這個開放性作業布置后的第二天上課時，有一位同學拿著一個正方體鐵絲骨架模型，如圖2，其中六條面對角線是用橡皮筋連接的，一位同學將一對面對角線橡皮筋向外拉，然后問其他同學，這是不是一個多面體？如圖3，一位同學說這個多面體形成一個12面體. 接著，另一位同學伸出手將另一對面對角線橡皮筋向外拉，“認為”形成一個18面體.第三位同學將最后一對面對角線橡皮筋向外拉，“認為”形成一個24面體.在四位同學的共同合作下，一個生動的多面體誕生了.面對課堂教學中瞬間發生的信息，教師用敏銳的眼光發現其中的問題并加以開發，不僅與歐拉公式發生聯系，而且總結其中的數學模型.
（三）第三階段――開發數學應用題的數學本質與數學應用意識
2003年新課程改革起步，新課程標準制定并公布，2004年在廣東、海南、山東、寧夏新課程教材進入高中課堂，各地編寫的新課程教材紛紛出版，新課程數學教材中最明顯的特點就是數學應用問題比原教材增加了許多，高考中許多數學應用題的情境來自于生活，深入挖掘出其數學本質，最有代表性的就是處在二期課改前線的上海，開發的數學應用題給人們呈現出的情境新穎，其數學內涵豐富.
1.關注數學應用建模能力，培養學生數學應用素質
中學所涉及的數學應用問題有二類：第一類，經過精加工后的貼近數學本質的“準”數學應用題；第二類，經過粗加工的貼近實際的“真”數學應用題. “好”的數學應用問題層出不窮，面對如此好的問題.把數學應用建模思想方法滲透在教學之中，充分挖掘問題的數學本質，把這一過程成為養育中學生數學應用素質的重要途徑.
例3 以下是面點師一個工作環節的數學模型：如圖4，在數軸上截取與閉區間[0，1]對應的線段，對折后（坐標1所對應的點與原點重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標，變成，原來的坐標變成1等）.那么原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點所對應的坐標是 ；原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標為 .
理解突破：
“均勻地拉”――保證這是一個有規律的數學變換――伸縮變換；
“一次操作”―― 一次變換所呈現的結果：原來的變到1；原來的，變到；
第2次操作――第1次操作后由原來的，，變到第2次操作前的；第2次操作后的1；
第3次操作――第1次操作后由原來的，，，變到第2次操作前的，，第2次操作后變到；第3次操作后變到1；照此下去，……；
第n次操作――第1次操作后由原來的，，…，，變到第2次操作前的，…，，第2次操作后變到，…，；…，第n-1次操作前的，，第n-1操作后的；第n次操作后變到1；
因此第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點所對應的坐標是，；原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標為，，…，，，即，j為[1，2n]中的所有奇數.
看到此問題情境，不由聯想起古人“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的精美概括；聯想到精美的楊輝三角，那么此問題能否概括為“一尺之面，對折其拉，萬絲不斷”？生活中的“拉面”場景，抽象為一種數學伸縮變換過程，檢測學生的對應、變換、數列知識以及邏輯思維能力，此問題給我們的一個重要啟示是：在數學教學中，引導學生學會用數學眼光看世界，去發現生活中的司空見慣的現象背后的數學規律，去探索或總結其數學模型，去揭示實際應用問題的數學本質.
2.關注數學問題的數學本質，從實際問題中挖掘數學模型
例4 如圖5，一位花布設計師在邊長為3的正方形ABCD中設計圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，以b（0≤b≤3）為半徑畫圓，由正方形內的圓弧與正方形邊上的線段構成了豐富多彩的圖形，則這些圖形中實線部分總長度的最大值為 ，最小值為 .
理解突破：L=2bπ+4（3-2b）， 0
≤，
2bπ+4（2b-3），
即L=2bπ-8b+12， 0
≤，
2bπ+8b-12，
當b=1.5時，L達到最小值3π，當b=3時，L達到最大值6π+12.
花布圖案設計是一個復雜的工作，但抽象出來的數學模型是簡潔而美麗的，由點的運動而產生許多豐富的圖案：
學生面對如此問題時，一方面要學會從“數”角度思考，寫出長度的分段函數，而后求出其最大值與最小值；另一方面也應學會從“形”角度思考，發現其最值點和最值. 但不論是哪一個思路，都需要學生在“運動”著的圖案中發現其數學本質，為今后的創新意識和實踐能力打下基礎，這正是新課程改革的教育理念之一.
二、近20年來我國高中數學應用問題教學的反思
近20年來高中數學應用問題教學重視程度不同，特別在高考單獨命題省份. 數學應用題一般都有一大一小或一大二小. 尤其是上海進行二期課改，關注數學研究性學習，數學應用問題教學的氛圍比較濃. 高考數學命題中數學應用題情境新穎、充分挖掘實際問題中的數學本質. 但是許多省份的單獨命題中，除了概率統計的應用題外，幾乎不涉及數學應用問題.
（一）數學教學中實際應用意識不強，對數學應用問題的教學目標不明確
不論是數學課程標準還是考試要求對應用意識都有明確的說明：“能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中簡單的數學問題，能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，應用相關的數學方法解決問題并加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明，主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決.”實事求是地說，這一目標要求是比較高的.它至少包括了下列目標：
一是“用”數學的意識與能力，即通過教學培養學生數學應用意識，學會用數學眼光看世界的方法，求解數學應用題的能力，探究數學概念與方法的來龍去脈與實際背景的能力；
二是數學建模能力，為相關學科中涉及數學建模或進一步學習中涉及數學建模奠定基礎；
三是數學語言表達與交流能力，即通過數學研究性學習方式來培養這一能力；
四是數據處理能力，在學習概率、統計、算法、金融數學相關知識中所訓練的能力.
（二）數學教學中的功利意識太強，對數學應用問題教學冷熱不均，反復無常
1995年以來，數學應用問題教學意識經歷了一個由冷加熱，熱中保溫，溫度下降的過程. 教師在不同教學思潮的影響下，缺乏從整體上認識它的功能與素質教育要求. 因此一會兒重視，一會兒放棄，表現在對數學教材處理上，有關“實習作業”“章引言與章頭圖”“探究與發現”“閱讀思考”等內容都忽略不去涉及，截頭去尾只講一些與“高考應試”有關的數學內容.課堂上對數學概念的來龍去脈不加研究，不介紹，導致學生只能了解一些數學解題方法，不理解數學概念.由于社會文化中功利意識的影響，在數學教學時對應用問題的教學中，如果與高考數學應用題型相關，就花大量時間或精力去訓練學生的應試能力；如果與高考數學應用題型無關，就一帶而過，或者是避而不講.這樣導致中學生數學應用意識與實踐能力仍是一個盲點.
（三）新的課程改革促使數學應用再掀
2012年起，浙江省在全省范圍內進行大規模的課程改革，增大選修課程的學分，以數學建模為核心的數學應用教學研究在浙江大地展開，2014年浙江高考數學中，一道閃亮的應用題誕生，可以預見數學應用問題的教與學會再掀！
筆者對我校八年級學生作了一次抽樣調查，經分析發現，89.3%的學生只會模仿教師的方法，而不善于反思。76.4%的學生認為自己沒有質問、思考和探索的習慣。這反映大部分學生沒有形成良好的數學思維方式，學生的思維品質不利于提出數學問題。
課程改革的核心之一是培養學生的創新和實踐能力，創新源于問題，因而，關注學生提出問題的能力是十分重要的。在初中數學教學中，教師如何做到有效設問，培養學生的問題意識，是值得研究的課題。
二、研究方法
（一）研究對象
研究對象為我校八年級兩個班的學生。這兩個班學生各條件平均，屬于平行班。實驗前，對實驗班與對比班進行數學試題的測試，并對數據進行分析（表1）。
從表1可以看出，實驗班與對比班平均分相差1.2分，計算Z=-1.48
（二）統計工具
用SPSS12.0進行數據統計分析。
（三）實驗過程
1. 實驗自變量：數學問題的情境設計；數學問題的多層次分解；數學問題的媒體輔助講解；數學問題的變式。
2. 實驗因變量：學生成績的變化。
3. 問題式教學的幾個過程
（1）數學問題的多層次分解
依據初中學生的數學基礎，從學生具備的知識開始，設置一連串的問題，帶領一連串的思考，達到對未知的認識。 “問題串”可以有“串聯”和“并聯”兩種模式，如下圖。
（2）數學問題的媒體輔助講解
在傳統數學教學中，由于較難提供生動、豐富的真實情境，造成學生對知識意義建構存在一定的困難。而信息技術在教學中的運用，為情境創設提供了有效工具。以計算機為中心的信息傳輸手段，利用生動的畫面、聲像、視聽等，充分調動學生的多種感官，為學生創設了良好的問題情境。
運用信息技術創設情境，不是簡單的根據數學問題增添一個生活化的情境，而是“要建立能揭示知識的起源、形成的經歷及其發展邏輯的問題情境”。因此，教師在運用信息技術創設情境時，要盡可能減少一些干擾元素，增加能突出數學本質的東西，以促進學生數學探究。
（3）數學問題的變式
在進行數學問題變式教學過程中，通過對數學問題進行弱化變式、結構變式、類比變式、逆向變式等，將數學知識串成一條線，使得雜亂無章的知識形成一個體系，整個過程是逐漸增加學生的認知負荷、逐步提高學生的數學能力的過程。不要為了追求新穎題型、難題的教學而忽視數學知識的連續性和學生能力的遞進性，不能只是讓學生感受“眼花繚亂”的變化，應該要在學生已有認知水平的基礎上，使學生的數學知識結構和數學能力都能循序漸進，呈螺旋上升式的發展。
4. 學生提出問題的能力評價
通過問題式教學，學生的問題意識有所增長，但如何評價學生“提出問題”的能力，是值得研究的問題。事實上，研究者已從托倫斯創造性思維測驗中得到啟發，對提出問題能力有新的認識，即用以表征提出問題能力的三要素：（1）問題的數量，體現學生思維的流暢性；（2）問題的種類，體現學生思維的靈活性；（3）問題的新穎性，體現學生思維的創造性。
一個學生所提出的問題數量較多，表明他在收集和處理問題信息時能產生大量有價值和意義的聯想。當然，關注學生能否從不同角度提出不問題，對提高學生思維的靈活性是十分必要的。對問題的新穎性判斷，要注重問題的原創性和合理性，作為檢測學生的思維創造性的依據。
三、數據分析
在實驗過程中,對學生提問題的能力進行中測和后測,并進行平均數顯著性水平檢驗分析,結果如表2、表3所示。
由表2、表3可以看出：從總體上看，在實驗中期，實驗班學生的數學測試成績高于對比班，且在?琢=0.05的水平上有顯著性的差異。
四、結論
（一）多媒體輔助，有利于問題的解決
傳統教學中，由于受到教學媒體的限制，教學內容只能靜態地傳授，缺乏運動變化思想的滲透，這不利于學生對問題的理解和記憶。在問題式教學時，運用信息技術有利于問題的解決。教師應該結合信息技術，充分挖掘問題的動態元素，對學生進行問題式教學。
信息技術在圖形變換、動畫等方面有很大的優勢，教師如果能充分利用這一點，在解題教學中，讓問題中某些變量動起來，將會使學生觸及問題的實質，解決問題時，體會到數學蘊含的精神、思想和方法。例如，探索點的運動規律，既是幾何教學的重點，又是中考考查的熱點。傳統的“粉筆+黑板”的教學手段，難于進行“動態處理”，“動點”只能用黑板上的一個靜態的“定點”演示，導致學生難于形成運動觀。而運用信息技術，能使動點真正運動起來。
（二）問題情境化，激發學生興趣
問題的提出是人們基于一定的情境，通過對情境中已有數學信息的觀察、分析，產生質問、困惑，進而發現和產生新的數學任務或數學問題的過程。國內有貴州師范大學呂傳漢教授在問題情境設置方面做了大量研究，情境是問題的根，問題是情境的心。學生的探究學習中的情境與問題是相輔相成的，是一個因果聯系的有機體。創設情境的目的是為了讓學生提出問題，情境是手段，問題是目的。
情境創設要聯系的是“生活現實”。創設日常生活情景進行教學，已經形成一種風氣，這對提高學生學習數學的興趣，掌握數學的來源，理解數學抽象模型，很有好處。但是，過度強調數學的生活化，以為一切數學都是從日常生活來的，則是一種片面認識，因為情境創設還包含一種純數學情境創設。
（三）問題的變式，培養思維的靈活性
變式教學是我國數學教育的一個特色。“變式”是在保持一事物本質屬性不變的前提下，通過變換它的非本質屬性，來突出它的本質屬性的一種思維方式。問題變式教學的特征是：通過問題各種變式之間，或改條件，或改結論等方式，掌握問題之間的差異與聯系，來認識問題的內涵與外延，實現對問題多角度的理解。在數學活動過程中，通過多層次的推進，使學生漸進形成解決問題的能力，從而形成多層次的活動經驗系統。
教學中常常運用反例或辨析題制造認識沖突，以幫助學生把握數學本質屬性，利用反例、辨析題和變式題進行教學屬于變式教學的范疇，反例的特點是改變對象的本質屬性而保持非本質屬性不變，辨析題的特點是改變對象的非本質屬性而保持本質屬性不變。
（四）問題的分解，注重啟發教學
關鍵詞：高等數學；高中數學；銜接問題
目前，通過相關的教學實踐調查，高等數學與高中數學的銜接問題，在高等數學教學質量及學生的學習效率方面發揮著很大的影響。從大學生學習的角度分析，高等數學的理論知識相對枯燥，并且其中涉及的計算和一些抽象的推理難度，都超過了學生自身的能力范圍，導致許多學生在高等數學學習方面感到很大的壓力。因此，為了進一步提高高等數學的教學質量以及培養學生的數學應用能力，深入探究高等數學與高中數學的銜接問題非常關鍵。
一、高等數學與高中數學銜接上的現狀及存在的問題
1.高等數學與高中數學教學內容銜接不上
自高中課程改革后，高等數學的教學內容就發生了很大的改變。由于部分高校與高中的改革進度不同，且高校的教學改革進度往往落后于高中的教學改革，這直接導致高等數學與高中數學在教學內容上出現脫節的問題。加上新課程改革的影響，在數學教學中數學教師關注的教學重點不同，使學生在學習的過程中沒有全面地學習到相關的知識理論。
2.高等數學與高中數學學習方式銜接不上
在實際的教學活動中，學生在高中階段的數學學習，通常是按照數學老師教給的方法進行學習，直接按照老師教給的解題思路和方法做題。相對而言，學生在學習高中數學方面的主動意愿不強，只是按照數學老師的教導進行學習。
而大學高等數學的學習，則需要大學生發揮主觀能動性進行學習，需要學生在課前進行認真的預習、課上認真地聽講以及獨自查閱相關的學習資料，才能熟練地運用數學知識。
二、加強高等數學與高中數學的銜接的策略
1.加強師生之間的溝通，做好教學內容的銜接
一方面，在實際的數學教學活動中，數學教師應在仔細研讀教材的基礎上，對涉及高中數學的教學內容有所了解，在進行高等數學知識的講解過程中，注意知識點的查漏補缺，避免學生由于數學知識點的斷層，無法跟上學習的進度。另一方面，數學教師還應多與學生進行溝通、交流，及時了解學生在高等數學學習方面存在的問題，并積極進行教學方案的研究，使學生可以更好地學習高等數學知識。
2.與時俱進，積極改進教學方法
在高等數學的教學活動中，數學教師應與時俱進，積極改進教學方法，嘗試營造良好的學習氛圍，激發大學生學習高等數學的積極性。同時，在高等數學知識原理的講解環節，可以適當講解一些數學發展史以及數學家的故事，吸引學生的注意力，使學生可以積極參與到高等數學課堂教學的活動中。
3.重視培養學生的自學能力，促進學習方式變通
為了進一步培養學生的數學知識應用能力以及提高高等數學的教學質量，重視培養學生的自學能力，促進學習方式變通，在一定程度上可以有效改善大學生在學習高等數學方面存在的問題。重視培養學生的自學能力，促進學習方式變通，可以使大學生在發揮自身能力的基礎上，獨立完成部分數學知識原理的學習，在數學教師的科學指導下，有效規劃學習計劃，降低學習高等數學的難度。
綜上所述，隨著我國社會經濟的快速發展，教育改革事業的發展也取得了一定的成就。在高等教育階段，高等數學的課程對于提高學生的綜合素質非常重要，培養大學生具備高等數學知識及原理的應用能力，是促使其將來適應社會生活的重要策略之一。結合高等數學教學的實際情況，深入研究高等數學與高中數學的銜接問題的相關內容，能夠更好地促進高等數學教學質量的提高，使學生更好地學習高等數學知識。因此，在高等數學教學的活動中，數學教師應在注意觀察學生學習狀態的基礎上，積極總結高等數學與高中數學方面存在的銜接問題。
參考文獻：
[1]南定一.高等數學與高中數學的銜接問題及改進對策[J].課程教育研究（新教師教學），2014（25）：146.
關鍵詞:海盜問題 數學 研究性學習
數學不好學,更不好教。很多學生感嘆:“數學太難了!”不論是在職教還是普教,數學教學面臨的挑戰都很大。筆者認為研究性學習不失為一種教學方法,它與發現法類似,但更具可操作性。在研究性學習中,學生是研究學習的主體,教師是以平等參與者的身份介入,是組織者、參與者和指導者,教師“指導不指令,參謀不代謀”,體現學生學習的自主性。開學初,筆者和學生談到數學的研究性學習,有學生說:“數學有什么好研究的,不就是死記硬背一大堆復雜的公式定理,永遠是做不完的練習題,只要懂簡單計算就夠用了,什么數學思維和數學素養一點用都沒有。”在這種情況下,一時半會很難改變學生對數學的誤解。
于是,筆者采取了圍魏救趙的策略。筆者問學生:“據說在美國有一道關于海盜的問題,如果能在20分鐘內得出正確答案的人,平均年薪在8萬美金以上,大家是否有興趣試看看?”
5個海盜劫得100顆鉆石,這100顆鉆石大小與價值相等。現在他們準備瓜分這100顆鉆石,5個人抽簽為A、B、C、D、E。先由A來提出分配方案,然后投票表決,半數或半數以上同意則分配方案通過,并按此分配;如沒有通過,他將被丟下大海喂鯊魚!然后再由B來提出方案,依此類推。問題如下:如果你是A,你將如何分配,既讓自己財富盡可能最大,又能保證不被丟下大海!注意海盜們都是絕頂聰敏且理智抉擇的人。
學生果然來了興趣,對于這個看似簡單的問題爭相發言,20分鐘很快過去了,沒人能給出正確答案。下課的鈴聲響了,學生還不肯罷休,于是筆者提出讓學生在課外繼續思考這個問題,下次派代表解答,不過到時筆者也會多問一個與此相關的問題。當筆者走出教室時,心里暗喜,學生們或許還沒想到,其實他們已經開始了數學的研究性學習了。
兩天后,當筆者再次走進教室,就看到班上學生都面帶笑容,最前面的學生告訴筆者:“老師,鉆石分好了!”
筆者就等學生這句話,于是說:“請派代表來回答,不過按約定,等代表把方案拿出來,我要多問一個相關的問題。”學生興奮不已,他們把數學科代表推選上來,科代表在黑板上寫下:
A B C D E
98 0 1 0 1
筆者拿起紅粉筆,打了個大大的勾,全班鼓掌,科代表更是一臉得意。科代表正要走下講臺時,筆者叫住他:“稍等,還有一個相關的問題。”全班一下子安靜下來,幾十雙眼睛都看著筆者,科代表顯得更緊張。筆者不緊不慢:“請問,這個方案的正確性怎么解釋?”這下全班鴉雀無聲,科代表愣了神,最后他忐忑地說:“老師,我們回家上網用百度找到這個方案的,不過,我說不清楚為什么,我錯了。”泄氣的表情寫在所有學生臉上,筆者笑了笑:“懂得用互聯網在信息資源中找答案,很好啊,希望大家以后課外繼續用計算機來研究問題。但光知道答案,不認真鉆研,淺嘗輒止,講不出道理還是不夠的,這樣吧,回去再看看資料,討論一下,看看下次能否解釋清楚,不過有言在先,下次要多問一個相關的問題。”學生的勁頭又起來了。
在后面的幾次課,筆者課前都先安排幾分鐘時間,點到為止,陸續提出了下面的問題:
如果其他條件不變,海盜數逐個增加,方案如何改變?
從這個方案,你能分別歸納出奇數個海盜和偶數個海盜分配方案的規律嗎?
如果其他條件不變,海盜數按班上的同學數來算,那最先提出正確方案的海盜能拿到多少顆鉆石?
如果其他條件不變,鉆石數達到多少顆會迫使擁有最先提出方案的海盜棄權?
其他條件不變,假設海盜有n名,鉆石有m顆,那么n與m要滿足怎樣的關系才不會迫使擁有最先提出方案權的海盜棄權?
一個個問題讓學生在糾結與興奮之間反復了好一段時間,學生最后發現,他們哪里是在幫海盜分鉆石,他們是在自己研究數學,對數學的反感淡化了,開始愿意用心聽,能夠用心想,上數學課居然幾乎沒人趴著睡。這讓筆者感到意外,聊天時問學生為什么改變,學生說:“數學似乎有點用,學點數學不會OUT了。”其實,最重要的是數學研究性學習讓他們都獲得了成就感。
筆者把這個海盜問題和普通高中的數學教師進行教研交流,他們也在普高的課堂上進行了實驗,普高學生還寫出了詳細的研究報告,效果很不錯。于是,筆者把這個案例整理出來,希望對大家的數學研究性教學有所助益。
參考文獻:
[1]韋斯特伯里.科學、課程與通識教育——施瓦布選集.中國輕工業出版社,2008.
[2]韓昌洙.千萬別恨數學.中信出版社,2004.
【關鍵詞】中學生；發現數學問題的能力；培養方法
在中學數學的知識結構中，各個知識點之間有著緊密的聯系，且作為基礎知識，與物理、化學等其他學科也有著密切的關系，在現實生活中的應用也非常廣泛.然而在當前的一些數學教學過程中，存在只注重解題和應付考試能力培養的現象，造成學生對數學知識點之間、數學與其他學科之間以及數學與現實生活之間存在的聯系思考很少，導致發現和提出問題的能力不足.本文結合多年的教學實踐，研究了如何在教學中培養中學生發現數學問題的能力.
1.發現數學問題能力的概念與意義
所謂發現數學問題的能力是指：學生在學習和生活中，能夠根據自身已有數學知識，通過主動思考，去發現、體會數學知識的能力.比如：學生學習過一次函數后，能夠將一次函數的知識與之前學習過的一元一次方程聯系起來，從函數的角度去看待方程；又如，在逛公園時看到草坪中踩出的“小路”，能夠聯想到原因可能是兩點之間直線最短，大家在找捷徑才踩出來的路.
在學習數學的過程中，發現問題的能力對數學成績的提高、數學能力的培養以及創新精神的培養都非常重要，著名數學家丁石孫說過：“沒有問題的學生不是好學生，保護學生發現問題和提出問題的積極性就像保護學生的好奇心一樣重要”.2011年版的《義務教育數學課程標準》中新增“發現問題的能力”，并指出發現和提出問題是創新的基礎.所以，在教學過程中老師應該積極培養學生發現數學問題的能力.
2.中學數學教學中存在的問題
（1）對發現數學問題能力的重視不夠
盡管新課標中明確提出培養學生發現和提出問題的能力，但是這項指標很難量化考核，短期內對數學考試成績的影響也沒那么明顯，導致一部分老師在教學中對學生發現數學問題的能力重視不夠.另外，受到教學時間的限制，老師在短短的40分鐘課堂時間，既要講授知識點，又要放手讓學生發現問題，似乎很難實現.
（2）教學方式單一，對學生的啟發不夠
對于初中數學知識，抽象程度不高，基本都可以在生活中找到相似的問題[2].但是在現實的課堂中，老師則更注重知識點的講解，對學生發現數學問題方法的指導有限，對“歸納”、“類比”等一些重要的數學思維培養不夠，教學中的情境多數也是教材上的一兩幅畫面，情境過于單調，不足以引發學生的聯想；當學生提出問題時，老師更愿意解答那些符合自己預期的問題，對于學生發散思維想到的個性化問題，往往不予重視.
（3）對學生鼓勵不夠，造成其提問時自信心不強
中學生的年齡還小，在課堂上自己提出問題還有些害羞或者膽怯，對于同學中提出的問題，若其認為比較“簡單”或“幼稚” 則會嘲笑，如果老師不及時制止嘲笑的同學和肯定提問的同學，則會給提問的學生留下不愉快的記憶，導致其提問積極性不高；此外，一些同學提出的個性化或偏僻些的問題，未得到老師積極的回應，也會造成其以后再提問時自信心不強.
3.培養中學生發現數學問題能力的方法
（1）更新教學理念，重視發現數學問題的能力
老師首先要從思想上重視學生發現數學問題的能力培養，數學課堂上，把“問題”當做教學的出發點和中心，在講解新的知識點前，要結合學生已有的知識或生活經驗，讓學生能夠主動提出問題，而后再根據學生們提出的問題進行展開，引入新的知識點，學生再利用新知識去解決問題.每個情境都精心設計，對學生提出的問題有一定的預期，對預期之外的問題也要積極鼓勵，從而循序漸進的引導學生去主動發現和思考數學問題.
（2）改進教學方法，倡導啟發式教學
《論語》中“不憤不啟，不徘不發”揭示了教育規律，在數學教學中也是同樣的道理，老師不要急于向學生灌輸知識，而是要積極引導學生獨立思考.王梓坤院士曾指出：“數學教師的職責之一就在于培養學生對數學的興趣”，在教學時，對待學生提出的問題，老師不要完全包辦，要多留些學生思考的空間，不管學生發現和思考的問題對或者錯、重要或者次要，都積極引導其主動思考，讓數學學習從被灌輸狀態轉變到在老師的啟發下主動思考的狀態.
（3）培養學生提出問題的自信心
現代中學生是個性突出、思維活躍的主體，他們有自己的知識背景、生活經歷、興趣愛好和思維方式，在教學中往往會提出一些老師始料未及的問題，使課堂變得多樣化和隨機化，此時老師不能全盤否定，而是要思考學生提出問題的合理性，對其合理的一面要積極肯定，對于不合理的一面要積極引導，從而使學生樹立好發現數學問題的自信心.
4.結束語
發現數學問題的能力對培養學生的學習興趣、數學思維、創新能力以及數學成績都有著重要作用.老師在講課過程中，要重視發現問題能力的培養，改進教學方式，積極地將數學知識與生活情境結合起來，讓數學學習變成能夠感觸得到的生活片段，鼓勵學生積極發現數學知識點間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，切實提高其數學素養，從而實現真正的素質教育.
【參考文獻】
[1]何世峰，黃靜濤，賀加來.我國數學教育中培養學生提出問題能力研究：現狀與前瞻[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2012，18（2）：119-121.
[關鍵詞] 小學數學；問題場；設計
傳統的教學模式比較單一，而且比較容易模塊化，一般都以講授為主、練習為輔，很少并且很難去激發學生的學習興趣. 并且很多課堂的提問都比較松散與隨意，學生缺少創造性的答題機會. 而“問題場”的設計研究是以教師為主導，要求在教學過程中提出一定數量的、高質量的問題，營造一種能喚醒學生探索熱情的學習氛圍. 針對不同的授課內容和類型，創造不同的教學情境和不同的數學提問策略. 教師在設計問題場時，最關鍵的地方在于問題的設計要具有濃厚的生活氣息，難度適合大部分學生，學生能夠利用所學知識去解決問題，這幾個方面的內容也是能夠引起學生主動參與、探究問題的關鍵.
新課標環境下有效“問題場”的優越性
“問題場”是指在數學教學活動中，教師能夠為學生創設各種各樣的教學情境，從而引導學生進行獨立思考，促使學生提出一些與數學相關的高質量問題，達到啟發學生思維，展現學生的疑問和創造力等精彩瞬間.
數學“問題場”的創設，研究的是一種不同的數學方式. 以往的數學學習方式是簡單的教師“講授”，學生“接受”，而“問題場”的創設是在教師的指導下，通過學生小組收集問題，分析問題，處理問題，合作交流，最終探索出解決問題方法的新型教學方式. 受傳統教學觀念的影響，目前我國很大部分的課堂仍然處在灌輸知識的填鴨式教學階段. 眾所周知，學生需要學習的是智慧，在學習知識的過程中掌握智慧，但是傳統課堂遠遠不能滿足這種需求. “問題場”的創設，無論是對于學生問題意識的培養，還是將學生從“知識人”轉變成“智慧人”都有著良好的促進作用.
數學問題場區別于數學問題，它是具有特定的數學情境的. 數學問題場包含了數學文化、數學問題、學生、教師、問題解決程序五個部分. 這里重點需要介紹的是數學文化，即現代社會、文化傳統在長期的教學活動中形成的與數學生活、行為方式相關的知識、行為、觀念、精神等，或者可以稱之為特定的數學傳統. 比如在教授圓周率的時候，不得不提的是我國南北朝時期的數學家祖沖之利用割圓術，將π值精確到小數點后面的第7位，教師可以由此激發學生的愛國熱情，并將這種熱情轉化為學習的動力，這就是數學文化所帶給學生的巨大財富.
數學問題場的教學模式不僅有利于激發學生的學習動力，更有利于培養學生分析、概括、表達的能力. 與傳統的“填鴨式”教學模式相比，學生能夠更加主動地進行學習，同時由于問題情境的開放性、層次性，使得學生都能夠有所收獲.另外數學問題場的教學模式也可以幫助學生養成追求真理、互助合作、積極競爭等優秀的個人品格.
新課標環境下有效“問題場”的設計
1. 矛盾式問題場的設計
矛盾式問題場的設計可以運用在新舊知識點的銜接. 由于新舊知識點之間存在共性和異性，所以學生可以根據自己的理解先進行探索，發現存在的差異性，由此展開討論，并且嘗試著解決問題.這里其實是運用了知識的遷移，并通過比較、對比，建立了“矛盾式問題場”.
以“小數的加減法”為例，教師可以在一開始上課的時候帶著大家復習一下整數加減法的相關計算規律，由此引出小數的加減法. 可以先給學生部分的計算題，讓學生自由解答，然后可以用計算機找出自己的錯誤，讓大家一起來說說為什么我的答案是正確的、說一說自己的正確算法以及錯誤答案的錯誤算法. 教師在學生發言的時候，逐步對學生進行引導，教師可以提問是不是“只要把小數點對齊，每個位上的數也就對齊了？”然后讓學生進行進一步的驗證，引導學生利用單位轉化的方法進行解釋和驗證.
只有在這種不斷的質疑、釋疑的過程中，學生才能在舊知識點的基礎上，逐步清晰新知識的網絡，將新舊知識有效地進行整合，從而形成協調性的記憶.
2. 生活化問題場的設計
生活化問題場是指讓學生在創設的情境中回憶已有的知識，將抽象的數學聯系生活實際，從而使得教學效果事半功倍. 在教學活動中，統計和概率的計算常常與學生的生活密不可分，揭示了一些生活規律和現象.根據這一特點，教師可采用“生活情境和回憶策略”的教學模式，通過讓學生回憶、整理已有的生活經驗、知識基礎來構建新知，通過創設生活化問題場激發學生的思維. 以“統計”教學為例，可以讓學生統計班級學生的身高、體重，以具體的數字進行比較，更容易讓學生掌握平均數、眾數、中位數的相關概念以及在日常生活中的運用和題目的求解；又如在“小數性質”的教學中，教師可以先叫學生用十塊錢去超市購物，將購物商品的價格羅列下來，發現商品的價格有：1.21元、0.81元、2.10元、3.09元等，教師可以提問：為什么有些商品的價格是兩位數，有的是一位數？有的商品在去掉“0”之后（如2.10），還是同樣的價錢，有的在去掉“0”之后（如3.09），卻是不一樣的價錢了？在今天我們學習了小數的性質之后，同學們就會明白了. 通過這樣與實際生活相關的問題設計，學生肯定會很感興趣，也一定會積極參與到問題的解決之中.
3. 形象化問題場的設計
形象化問題場是指通過直觀的演示或者操作活動，讓學生能夠在觀察的過程中進行比較，歸納出事物的具體特征. 由于小學生的空間感官比較差，所以很難進行空間想象，這就增加了教學的難度. 針對這一現象，教師必須站在學生的角度去思考問題，并且盡量將數學問題形象生動地展示給學生. 例如在教授學生時空知識時，時間單位不同于長度單位、重量單位，對于鐘表上的時針從一格走到下一格表示一個小時，分針從一格走到下一格表示一分鐘，秒針走一小格表示一秒，這些學生都不是很了解，很多學生甚至還以為鐘表的進制是100而不是60. 因此，教師在課上應該首先教會學生認識“時”“分”“秒”，如教師可以在上課之前事先運用多媒體給學生展示一下鐘表的運行，在動態、可以控制的情況下，給學生展示時、分、秒的概念，從而在感官上給學生以刺激. 還比如講解周長的計算的課程中，教師可以有效地利用鐵絲這個工具，在課堂上親手為學生展示一些小物品的周長是如何計算的，讓學生自己也能夠動手測量. 再如軸對稱圖案的教學中，教師可以通過教學生剪紙，了解軸對稱圖形的特性，這樣既提高了學生的動手實踐能力，又能夠讓學生在實踐中感受到具體的數學知識.
教師在小學數學有效“問題場”
設計時應遵循的基本原則
有效設計小學數學“問題場”是數學課堂教學藝術的重要組成部分，也是數學教學反饋的一個重要手段. 在設計“問題場”時，從設計問題的方向上來說，首先必須要遵守的是設計問題的明確性. 教師要給學生明確的思考問題的方向，讓學生能夠有的放矢.其次就是設計的問題要難度適中，這樣的問題才有提問的價值，才能激起學生的興趣，正如贊科夫所說：“對于學生來說，教學內容應具有適中的復雜程序和難度.” 最后就是教師設計的問題必須要有靈活性，問題的內容必須要靈活多樣，不能機械死板，如果學生回答問題有錯誤也屬于正常情況，此時教師就要及時發現學生出錯的根源，再通過一些類似的問題幫助學生加以鞏固.
從設計問題的內容上來看，“問題場”設計一方面要有一個好的問題情境與之相對應的數學問題，并且問題的提出要緊扣教材內容，充分結合學生的實際情況. 一個好的問題情境，應該是具有數學思考價值的，它能調動經驗，產生意向，激發創造，因此，它必須是開放的，使得各層次學生都能參與并產生自己的想法，通過不同的想法挑戰學生的思維，經過實踐驗證等活動，讓學生發現知識規律. 另一方面，設置問題一定要留有懸念，這樣才能激發學生的學習興趣. “興趣是最好的老師”，一個人只有對探究的問題有濃厚的興趣，才能獲得創造成果. 設置的數學問題有懸念，才能引起學生學習數學的興趣，才能激發學生的求知欲，才能喚起學生的創新意識，從而達到提高學生數學思維能力的目的.
【關鍵詞】初中數學 問題鏈 設計研究
在一堂課的教學中，教師的“提問”環節往往是很重要的，它既保證學生對已有知識的探究心，又能激發他們對未知知識的求知欲，有趣的問題能引導他們主動投入學習，有針對性的問題能讓他們向學習中的弱項努力，教師通過一環又一環的“提問”來引導學生從研究的角度進入知識的學習，這個時候，因為“問題”已經連成了串，“問題鏈”概念就應運而生。
一、利用知識的多角度性設計“問題鏈”
教學中，“提問”環節，自有其多角度性，提問的切入點不同，則同一個問題問法也不同，每一個學生對新鮮的事物都保持有一定的好奇心，而新鮮的知識則更能讓產生了好奇心的學生，更加投入到對問題的學習，而好的“問題鏈”需要做到的是，在整個提問過程中，將這一點從開始有效的保持到最后，要做到這一點，找準提問角度是很重要的。
現以“一元二次方程的解法”舉例：一元二次方程是一種同時擁有多種解法的方程。教師從頂點展開問題鏈：
師：我們都知道一元二次方程是二次函數的一個部分，利用它的頂點式，可以求出所有的一元二次方程的解，那么，我們還能不能用其他方法來求一元二次方程的解呢？
此時學生通過教師的問題進入探究，教師繼續展開問題鏈。
師：已知完全平方公式，我們能不能從這個角度切入？
生：理論上，如果能將一元二次方程中的二次項系數轉為1，常數移到等號右邊。最后兩邊同時加上1次項系數一半的平方。讓方程達到左邊為完全平方式，右邊為常數。就可以用完全平方公式進入解法。
師：如果以“配方法”繼續進入推導？能不能再切入其他角度？
在這個“問題鏈”中，教師通過引導學生對“一元二次方程解法”的多角度解法切入，會帶給學生一種新鮮感，原來不同角度看方程會出現不同解法，他們自然覺得有趣，也會愿意繼續探究。這樣就保證了問題鏈的有效。
二、利用知識的可持續性設計“問題鏈”
在數學知識的教學中，學生學到的知識一般都具有可持續性，數學的大綱本身就是一個由易到難的計算過程，而這也正是“問題鏈”概念的特征之一，我國古代有句俗話叫“溫故而知新”利用知識的持續性，從舊的知識引入第一個“提問”，再在后續“提問”中不斷引出新的知識，這樣的過程不僅能降低學生對新知識的畏懼感，還能讓他們對新知識產生親切感。而親切感的產生會讓學生的學習態度更自然，可見，做好新舊知識的“問題鏈”銜接，也是保證問題鏈有效性的關鍵。
以“有理數”的教學為例，教師通過舊知識的引入展開“問題鏈”。
師：我們都學過有理數的基礎概念。同學們還記得么？
生：以0為分界，正整數大于所有負整數，所有正整數都可以成為分數的分母。此時，學生復習完成，教師圖片引入新知識
根據上圖，教師繼續展開“問題鏈”。
師：通過上圖我們觀察到了什么？
生1：線條有箭頭，它是從左到右而畫，它像一把尺。
生2：線條上的數是依據“整數概念”而標。左負右正，左右對應且相同。
生3：這條線上數字與點對應，且什么數字都有，正數，負數，分數。
師：以1舉例，在這個數字線條上，左邊是-1，右邊是1，左右之間，互為什么？
生：相反
師：所有不同類型的數字都能和點對應，要如何概括？
生：說明原點對所有類型的數都可以進行表達。
由這個“問題鏈”可以看出，教師提問舊知識，學生馬上就在教師出示的新知識中帶入舊的知識，教師從學生的觀察結論中不斷深入提問，學生每一步的回答都獲得了新知識的延伸，他們獲得了想要的知識和樂趣。“問題鏈”的有效性就得到了保證。
三、利用知識的可探究性設計“問題鏈”
數學教師都知道，“數”這個概念雖然是單一性理解，但是它卻有無限變化的排列組合特征，這也就是知識的可探究性。通過知識的“可探究性”來設計“問題鏈”是利用學生在“不斷發現”中獲得的樂趣，來保證他們在“問題鏈”的教學模式中，全過程主動投入，學生一旦投入主動，則對所有知識的學習都會事半功倍。所以，利用好知識的可探究性，也是很重要的。
以“角”為例，教師首先以生活中常見的物體，以舉例模式展開引入。
師：我們的生活中都離不開各種各樣的圖形，比如黑板是長方形，你們的凳子是正方形，教師的裝飾是三角形，那么他們有什么共同特征？
生：都有角。
師：觀察發現，所有的角都由兩條線構成，過往學習中，兩條線交叉會形成什么？
生：點。
師：那么角由什么構成？
生：經過同一點的兩條直線交叉。
師：通過兩條直線交叉都可以形成怎樣的角呢？同學們可以運用自己手中的尺子和筆來畫一畫，量一量？
在這個問題鏈中，教師由舉例引入“角”的概念，同時引導學生實踐動筆，課堂知識圍繞“角”的形成展開討論，通過學生的手動實踐，他們會發現一些共同點，此時教師繼續展開問題鏈引導學生觀察，所有組成正方形的角都是90°組成三角形的角都小于90°學生由此發現，雖然線可以組成許多種角，但是角度確有共通之處，他們會覺得有趣，由此可見問題鏈中探究性的重要。
總結
