時間：2023-03-07 15:20:25
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學生 具有我校本學年正式學籍，學籍號 ，國籍為(請在打√)：中國籍(港澳臺籍除外)港澳臺籍外國籍，證件號碼： (中國籍請填寫中國居民身份證號碼，港澳臺籍請分別填寫港澳居民往來內地通行證號碼、臺灣居民往來大陸通行證號碼，外國籍請填寫護照號碼)。該學生下一學年(請在打√)將繼續具有我校正式學籍因升轉學等原因將不具有我校正式學籍。
特此證明。
(學校蓋章)
年 月 日
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。
*12.兩圓的內（外）公切線的長相等。
13.等于同一線段的兩條線段相等。
2、證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。
7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應角相等。
9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。
10.等于同一角的兩個角相等。
3、證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。
2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙摇?/p>
11.利用半圓上的圓周角是直角。
4、證明兩直線平行
1.垂直于同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行于第三邊。
5.梯形的中位線平行于兩底。
6.平行于同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。
5、證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。
6、證明 角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
7、證明線段不等
1.同一三角形中，大角對大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
8、證明兩角的不等
1.同一三角形中，大邊對大角。
2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角。
3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
9、證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對應線段成比例。
2.利用內外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。
10、證明四點共圓
1.對角互補的四邊形的頂點共圓。
2.外角等于內對角的四邊形內接于圓。
3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。
4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。
那么,如何學好這類幾何證明呢?本人認為應做到以下12個字:“見什么想什么,要什么寫什么”.
要做到“見什么想什么,要什么寫什么”,則要求學生要有一個比較扎實的幾何系統知識,即幾何中的相關概念、命題,相關性質、公理與定理等基礎知識,并對這些知識熟練記憶.因此,我們在記憶的時候要將相關知識聯系記憶,并進行比較,從中找出該知識間的必然聯系.
那么如何理解“見什么想什么,要什么寫什么”這12個字的學習方法呢?
1 “見什么想什么”
1.1 想相關的性質(即可以用得到的東西)
①見到垂直,即要想到:(1)所成的角為90°;(2)線段的垂直平分線(其上的點到線段兩端的距離相等);(3)有可能是三角形的高.
②見到線段的中點或角平分線,即要想相關的三個表達式子:(1)兩個小者的相等關系(較短兩條線段或較小兩個角);(2)小者等于大者的一半的關系(較短兩條線段或較小兩個角與最長線段與最大角);(3)大者等于小者的2倍的關系(最長線段與最大角與較短兩條線段或較小兩個角).
③見到兩直線平行,馬上要想到有關的角的性質:(1)內錯角相等;(2)同位角相等;(3)同旁內角互補.
④見到直角三角形,即要想到:(1)有一角為90°;(2)勾股定理;(3)斜邊上的中線等于斜邊的一半;(4)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半.[注:(3)與(4)都有這樣的關系:等于斜邊的一半];(5)全等時的HL.
⑤見到等腰三角形,即要想到:(1)兩腰相等;(2)兩(底)角相等;(3)三線合一.
⑥見到有關解多邊形的題目,我們必須想到與多邊形相關的內角和、外角和知識:即內角和為:(n-2)×180 °、外角和為:360°.
⑦見到平行四邊形,馬上要想到平行四邊形具有如下可用到的東西:(1)對邊平行;(2)對邊相等;(3)對角相等;(4)對角線互相平分.
⑧見到矩形,馬上想到矩形具有如下可用到的東西:(1)角相等,且為90°;(2)對邊平行;(3)對邊相等;(4)對角線互相平分,且相等.
⑨見到菱形,馬上想到菱形具有如下可用到的東西:(1)對邊平行;(2)四邊相等;(3)對角相等;(4)對角線互相平分,垂直,且平分每一組對角.
⑩見到正方形,馬上想到正方形具有如下可用到的東西:(1)對邊平行;(2)四邊相等;(3) 四角相等,且都為90°;(4)對角線互相平分,相等,垂直,且平分每一組對角.
1.2 想相關的方法(即怎樣見題想方法)
①見要求有關的角相等,馬上想到可以用如下方法去解答:(1)看角的情況,證兩直線平行;(2)最常用的利用三角形全等;(3)角在同一三角形中,可證其是等腰三角形;(4)借助第三個量,找其等量關系.
②見要求有關的線段相等,馬上想到可以用如下方法去解答:(1)最常用的利用三角形全等;(2)線段在同一三角形中,證其是等腰三角形;(3)看是否有線段的垂直平分性質,想線段垂直平分線上的點到兩端的距離相等;(4)線段是四邊形的兩條對邊,則可證其是特殊的四邊形(平行四邊形、菱形、矩形、正方形等)
③見要證線段的大小關系,則要想到把相關的線段轉變到三角形中,進而用三角形的三邊關系以及直角三角形中的勾股定理來解決.
④見要證線段之間的和差關系,一般來說是要把較長的線段進行拆分,構造出一些相等的線段,然后進行轉化.
⑤見到要證兩個三角形全等,即要想到證全等的三個條件(HL兩個條件除外):SAS、ASA、AAS、SSS,然這三個條件則需看題目去找,注意條件不能亂套,亂用.
[三角形的全等,是初中幾何的一個重要知識點;對三角形全等的條件要靈活運用,靈活去找出其隱藏的條件:比如說對頂角、公共角(或公共邊)相等、垂直隱含直角的關系、中點隱含線段相等的關系、角平分線隱含角相等或角平分線上的點的一些關系(到兩邊距離相等)以及三角形內角和為180°、角的互余互補關系等等]
1.3 想相關的思路
①證兩條直線平行:
觀察題目中的 “兩線”被第三“線”所截所成的角而想相關的方法,如出現同位角則可用“同位角相等,兩直線平行”,如還出現內錯角或同旁同角,則也可以用相應的方法來證明.
②證三角形全等或相似:
觀察題目中所給出的邊與角的條件對應SAS、ASA、AAS、SSS進行比較進而想思路,如題目告之的是:一角一邊,則可選取SAS、ASA、AAS,再看角與邊哪個好找就用相應的方法;如題目告之的是兩邊或兩角,則選用SAS、SSS(ASA、AAS),這樣一來,思路就比較明確啦.證相似也是一樣,且更加簡單,條件只需要兩個,題目告之的是一角,則選取AA來證最為簡單;如題目告之的是:一角一邊,則可選取SAS、如題目告之的是兩邊,則選用SAS、SSS.但請記住:證明相似最常用常考的方法是:AA.
③證明平行四邊形:
(1)見題目中告訴與邊有關的內容,想到用“兩組對邊平行”、“兩組對邊相等”、“有一組對邊平行且相等”來證明;(2)見題目中告訴與角有關的內容,想到用“兩組對角相等”、“兩組對邊平行(因角相等可想到兩直線平行)”;(3)見到題目中告訴與對角線有關的內容,想到用對角線來證明,即“對角線互相平分”.
④證明矩形:
(1)見題目中告訴的是與平行四邊形有關的,則馬上想到:a.利用定義(有一個角是直角)來證;b.證明兩條對角線相等[注:見到題目中是與對角線有關,則馬上想到是用b來證];(2)見題目中告訴的是與四邊形有關,則想到證角為90度(三個角都是直角),或是看題目中的邊、角、對角線的關系,先把其轉化為平行四邊形,再利用(1)的方法來證.
⑤證明菱形:
(1)見題目中告訴的是與平行四邊形有關的,則馬上想到:a.利用定義(有一組鄰邊相等)來證;b.證明兩條對角線垂直[注:見到題目中是與對角線有關,則馬上想到是用b來證];(2)見題目中告訴的是與四邊形有關,則想到證邊相等(四條邊都相等),或是看題目中的邊、角、對角線的關系,先把其轉化為平行四邊形,再利用(1)的方法來證.
⑥證明正方形:
證明正方形的主要的方法都是利用正方形的不同定義以及正方形的雙重性(既是矩形又是菱形):即是看題目中的邊、角、對角線的關系,證出是矩形(或菱形)[這些證明方法同上②、③.相同],然后再證一組鄰邊相等(或是有一個角是直角)就行了.
⑦證明等腰梯形:
(1)見到題目中告訴與角有關的梯形,則想到證兩底相等;(2)見到題目中告訴與對角線有關的梯形,則想到證兩條對角線相等就行.
以上談到的見什么想什么,在今后的學習中還可能遇到與其有關的知識內容,那么到時自己進行小結,把相關的內容加到相應的知識點中去.
2 “要什么寫什么”
我們在證明的過程中,由一個知識點可能得到很多相關的性質、結論,但并不是所有的結論我們都要在證明過程中寫上,如果這樣反而使證明過程不清不楚,適得其反.所以在寫證明過程中要做到“要什么寫什么”:即題目要怎樣的結論我們就寫叫哪些的結論,這樣我們的證明過程就簡捷、明確,推理具有邏輯性.
比如,1.常用的三角形全等,則會得出有六個相應的結論:三組邊、三組角對應相等,那么,我們在證明的過程中就要看清楚:是要用線段(即是邊)的關系,還是用角的關系,進而寫出相應的結論,這樣才能使證明過程簡潔、明確,推理具有邏輯性.2.比如平行四邊形、矩形、菱形、正方形等都有很多的性質結論:邊的關系(汲及到線段時還可能用到對角線的一些內容:平分,交點為線段的中點等)、角的關系(也可能用到對角線平分每一組對角的這一重要性質)以及對角線的關系(其又有不同的關系:平分、相等、垂直、平分每一組對角,因而要適當選擇來解題).
總之,在解題的過程中,要認真觀察題目的每一句話,進而去想到相關的知識去解決問題.
下面以2009年中考題為例介紹如何用“12字”法:
例1 (2009年廣西欽州)(1)已知:如圖1,在矩形ABCD中,AF=BE.
求證:DE=CF;
分析 ①想解題方法:本題一見要證明DE=CF,而這兩條線段分別在不同的三角形中,所以我們想到的方法與思路就是用證明三角形全等的方法來證明兩條線段相等,②想相關性質:題目知之是在矩形ABCD中,所以想到矩形相關的邊(對邊相等與平行)、角(四個角相等且都等于90°)的關系;③想相關解題思路:本題想到是用證明三角形全等的方法來證,但用全等條件的哪一個呢?這兩三角形是直角三角形,而斜邊DE、CF為所求,所以不可能用HL來證,要求證邊,也不可能用SSS來證,題目告之有相關的邊加上矩形相關性質而想到正確的方法應該用SAS來證.
證明 因為AF=BE,所以AF+EF=BE+EF ,即:AE=BF. 因為四邊形ABCD為矩形,所以AD=BC,∠A=∠B=90° (注:這里用什么寫什么,比如AD∥BC,AB=BC這些條件是不用的,所以就算是正確也不用寫下去),所以ADE≌BCF,所以DE=CF.
例2(2009年婁底)如圖2,在ABC中,AB=AC,D是BC的中點,連結AD,在AD的延長線上取一點E,連結BE,CE.
(1)求證:ABE≌ACE;
(2)當AE與AD滿足什么數量關系時,四邊形ABEC是菱形?并說明理由.
分析 ①想解題方法與思路:
本題一見要證明ABE≌ACE,馬上想到證明一般三角形全等的四種方法:SAS、ASA、AAS、SSS,而通過觀察題目與對應要證的三角形比較,知一邊且有一公共邊,所以想到SAS與SSS,而另一邊也無法求故想到SAS.②想相關性質:由題目中的“AB=AC,D是BC的中點”想到“三線合一”,③ “要什么寫什么”:而本題證明全等只需用到角,所以在寫的過程中,只寫兩小角相等即可.
委屈總算那么地折磨人，把我的喜悅一掃而空；把爸爸媽媽對我的信任拋在九霄云外。讓我獨自在黑暗的角落里哭泣，我必須證明自己，得到相信的愛。
小時候，我在家里是一個不聽話的孩子，在學校是個成績差的學生，在親人的眼里是個“淘氣包”。他們都在議論我，玩笑的話中透露我的沒用。我很生氣，決定發奮讀書，變得有禮貌，讓他們對我刮目相看。
經過一年的努力，我在期末考試中獲得了第一名。我欣喜地跑回家給爸爸媽媽看，爸爸看了試卷臉上卻沒有洋溢著快樂的表情，而是嚴厲地批評我：“考不好沒關系，但也不能抄??！真是把我的臉面丟盡了！”我堅決地說：“我沒有抄！”我搶了試卷跑到了屋里，屋子里傳出“嗚嗚”的哭聲，爸爸理都不理。我在屋里拿著試卷發誓：我要證明自己。
關鍵詞：延時評價；及時評價；思維
1.學生有怪問時，延時評價可提供一個敢于釋疑的環境
課堂教學中，當學生提出某些古怪、幼稚、甚至是荒誕的“怪論”時，常引來教師迫不及待的否定，無形中撲滅了學生創造的火花，挫傷學生的積極性.因此，教師千萬不要及時評價，而應通過延時評價的方法，鼓勵學生敢于思考、敢于與眾不同、敢于發現和挑戰，然后及時轉換角色、轉換角度，走進學生的內心世界來解決問題.
22
xy
例1.1在學習“雙曲線的幾何性質”時，總有學生提出這樣的問題：“當x=0時，方程-=1
22
ab
沒有實根，為什么還要將點B1（0，-b）,B2(0,b)在y軸上表示出來，并稱B1B2為虛軸？”等等。
這些似是而非的問題是多么富有創意！從教學實踐看，怪問就是一顆創造的種子，它埋在學生的心里。這顆珍貴而嬌嫩的種子，只有在教師的精心呵護和培育下才會生根發芽。
2.問題有多解時，延時評價可提供一個敢于質疑的環境
在數學學習中，我們經常會碰到可以從不同角度、不同側面來解決的問題.解決這樣的問題時，教師對課堂上學生提出的解決問題的方案要采用延時評價，不能過早地給予及時的終結性的評價，否則會扼殺其他學生創新思維的火花.
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例2.1已知實數a，b，x，y滿足a+b=4，x+y=9，求ax+by的最大值.
生：令a=2cosα，b=2sinα，x=3cosβ，y=3sinβ，則ax+by=6(cosαcosβ+
sinαsinβ)=6cos(α-β)。故當cos(α-β)=1時，ax+by的最大值為6
教師一聽，答案完全正確，情不自禁地說：“非常正確！和老師想得一模一樣.其他同學呢？”哪知道
剛才舉起的那些手“唰”地不見了！頓時，教師不知所措，不知道自己到底做錯了什么……
正常情況下，由于受思維定勢的影響，新穎、獨特的見解常常出現在思維過程的后半段，也就是我們常說的“頓悟”和“靈感”.因此，在教學中，教師不能過早地給予評價以對其他學生的思維形成定勢，而應該靈活地運用延時評價，讓學生在和諧的氣氛中馳騁想象，使學生的個性思維得到充分發展.
3.思維受挫時，延時評價可提供一個敢于析疑的環境
案例3.1在利用不等式求最值時，有這樣一個思維受挫的教學片段：
sinx2
求函數y=+〔0＜x＜π〕的最小值.
2sinx
sinx2
生：利用平均不等式，y≥2.=2
2sinx師：以上不等式能取到“=”嗎？
生：因為sinx≠2，所以等號取不到，這樣解錯了.
師：說明用不等式不能解決此問題，可以用什么方法呢？……
一、理清思路，先學會將解析過程“說”出來。
1.愛因斯坦說過：一個人的智力發展和他形成的概念的方法在很大程度上是取決于語言的。而我們知道語言也是思維的工具，通過學生先口頭表達對于幾何解析過程的演示，能夠暴露出思考問題時的“先天不足”，有利于教師和同學們一起發現問題并共同解決問題，特別是有些學生概念模糊，那么他在口頭表達的時候也不會思路清晰，而教師可以在此時加以積極引導，幫助學生學會順藤摸瓜。
2. 學生學會先口頭表達解析過程能夠有助于學生從單一封閉的思維模式中走出來，集眾人所長，相互之間得到有益的啟發和從別人身上獲得更大的借鑒，從而真正能夠實現一題多解和一題多證。在同一環境下學生之間的這種口頭闡述，可以使較為簡單的解法浮出水面，幫助學生們共同受益。
3. 通過先口頭闡述幾何解析過程能夠激發學生在課堂上的參與熱情，因為初中生單一的童真不會考慮更多的內容，而是極力在課堂上展示自己，演示自己，希望得到別人的尊重與認可，這是客觀的生長規律，一旦調動他們參與的熱情，學生學習的興趣自然就會被激發，效果當然就很明顯。當然班上也存在有部分同學會而不說的情況，這個時候教師可以激勵他通過朗讀的形式，或者小組加分推著他一起參與到口頭講述的過程中來，尤其是班上的后進生，對于他們的學習倦怠或者一竅不通，我覺得教師有必要先對他們進行單獨輔導，特別是學生的準備環節，我們可以對他們開小灶，讓他們先有所知，然后故意讓他們也表達自己的觀點，一旦說出了基本步驟，教師就大力表揚，在一次次的認可中，學生的參與指數必然會得到提升。
4.與其說，是讓學生自己說，其實，更多的是教師在背后推，如果失去教師在課堂上有力的指導并對學生的闡述內容進行客觀而系統的分析，那么這種將解析過程說出來也只是一片散沙，所以教師依然是解析過程中的組織者，主導者。領路人，這需要教師必須對解題思路有足夠的分析，有充足的備課，不然課上也會出現掉鏈子的現象。
二、強化書寫，把握內容的準確性，形成爛熟于心的書面習慣。
書寫幾何證明題，就要使用科學準確的幾何語言，只有正確的書寫內容才能培養正確的證明習慣。
1.強化幾何語言的規范性，讓學生掌握一些規范性的幾何語句。例如：“
在ABC中，∠A=120°，K、L分別是AB、AC上的點，且BK=CL，以BK，CL為邊向ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。證明：PQ=BC 。
證明 ：延長直線PK與QL交于O，
根據正三角形BPK，正三角形CQL及∠A=120°，
顯然可證：四邊形OLAK為平行四邊形，
所以AK=LO，AL=KO。
又因為BK=CL，
故
PO=PK+KO=BK+AL=CL+AL=AC；
QO=QL+LO=CL+AK=BK+AK=AB。
而∠POQ=120°，
所以ABC≌PQO。
故PQ=BC。？ 通過上課的教學和課后的輔導，教師先在黑板上反復演示，科學地表達幾何語言；表然后讓學生到黑板板書，再逐一檢查下面學生的語言表達情況，通過學生兩兩之間，小組之間，和教師逐一批改的層層推進的模式，加深學生對規范語言的運用和理解，使學生學會使用幾何語句。
三、積累解題思路，學會舉一反三。
1. 在幾何題中，我們發現有很多幾何題 只是內容上的差異而解題步驟是基本上差不多的，所以建議學生學會整理解題思路，學會舉一反三，建議學生們自己準備一本題集，先將自己平常見到的題型進行歸類，例如證明角相等的，證明邊相等的，證明需要加輔助線的，證明需要加延長線的，這個時候，我們可以幫助學生進行一一編輯，將它們分門別類，然后一旦遇到類似的問題，先進行比較，基本上差不多的則一筆帶過，如果還有一些不同，或略有拔高，我們可以在同一題型后面再附加，使這類題型更加的完善，更加的充實。
2. 學會舉一反三，還可以建議學生自己造題目，讓學生造題目就是讓學生對自己熟知的題目進行簡單的編輯，造出的題目可以讓學生間或者同組間進行交流證明例如：
如圖，AD平分∠BAC，點E在BC上，點G在CA的延長線上，EG∥AD，EG交AB于點F，求證： AF=AG。學生可以將字母順序進行顛倒，也可以取消BEF讓學生學會延長CF到B點，在此基礎上加輔助線，另一種拓展是在GEC中，在GE上取一點使AF=AG，求證EG∥AD，這樣，似曾相識的兩條題目都出爐了，學生的訓練思維得到了鞏固，也拓展了學生的發散性思維，利用這樣的鞏固訓練，可以達到一題多練的效果，往往將條件轉化為求證結果，或者將求證結果轉化為條件，利用這種反復論證，使映象得意進一步的加深。
關鍵詞：高校；教學名師；特征
中圖分類號：G451 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568(2012)41-0015-03
一、高校教學名師的內涵界定及評選標準
1.基本內涵
“名師”，是指有名望的、在學校和社會上有一定影響的教師。王毓殉給名師下了一個規范的定義：“名師，是指在一定時空范圍內自然而然形成的，具有一定的知名度、認可度、美譽度、影響度和突出成就的專業素養較高的富有創造性的優秀教師。”高校教學名師強調兩個關鍵要素：高校、教學名師。高校包括高職高專和本科院校；教學名師不僅是名師，而且以教學為限定條件，即教學名師不僅要學識淵博、學術造詣高深、道德高尚及受人敬仰，而且要立足于教育和教學，尤其強調教書育人的品質和成就。教學名師既是著名的學者，也是著名的教師，只有在三尺講臺上才能真正展現名師的教學風采。結合王毓殉先生的名師觀和已評選出的名師特點，筆者認為高校教學名師即立足于教育和教學的、知識淵博、學術造詣高深、教學成就突出且有一定知名度、廣泛的認可度(包括學生、學校、家長、社會和行政部門的認可)、美譽度和影響度的高校教師。
2.名師標準
從評選國家教學名師始，相關部門就制定了完備的教學名師評選條件和考察指標。本科部分和高職高專部分采用了兩套獨立的體系，本科部分從教師風范、教學能力與水平、教學梯隊建設與貢獻、科學研究與學術水平以及外語水平等五個一級指標展開遴選；高職高專部分從教師風范與教學經歷、企業經歷與行業影響力、教學能力與水平、社會服務能力、教學團隊建設等五個一級指標展開評價。不管這些指標體系是否科學，可以看出不管是在本科部分還是在高職高專部分，都非常強調教學能力與水平，這一塊的分值最高、要求最詳細。最新一屆的評選條件明確規定：“‘教學名師獎’評選優先考慮長期承擔教學任務并作出突出貢獻的一線優秀教師，特別是為低年級學生講授基礎課的優秀教師”，這說明了教學名師的評選立足于教學、側重于教學。
二、教學名師的統計學特征
根據第四屆、第五屆高等學校教學名師的評選結果，除了第五屆有3位來自總參的獲選者沒有具體信息外，本文對此兩屆其余獲選的總共194位高等學校教學名師的基本背景資料做了整理和統計，其基本特征情況概括如下：
1.域分布情況
從表1可以看出，來自東部的教學名師為111位，所占比例達到57.2％，占全部總數的一半以上；但來自中部和西部的比例則要小得多，分別為28.9％和13.9％。從這一統計比例可以看出，我國高等學校的教學名師在地域分布上存在著較大的差異，來自東部的教學名師要遠遠多于中部和西部，西部的比例最小，這也從一定程度上說明了我國高校教師資源的地域分配不均衡。
2.分布情況
年齡信息是以這些教學名師獲獎的當年為節點計算出來的，統計的是第四屆、第五屆高等學校教學名師獲獎時的年齡，情況如下：
統計發現，第四屆獲獎教師最高年齡為71歲、最低年齡為40歲；第五屆獲獎教師最高年齡為92歲、最低年齡為39歲，兩屆獲獎教師的平均年齡都為53歲。由表2可以看出，高等學校教學名師在年齡分布上具有較為明顯的階段性特征，40歲以下和71歲以上的比例較小，主要的集中在41到60歲之間，總和比例達到了79.9％。這說明了高等學校教學名師的成功是經過長期積累、沉淀和奮斗的結果，不是一蹴而就的。
3.教齡分布情況
在2011年第六屆高等學校教學名師的評選條件中，明確限定本科院校候選人原則上須具有20年以上(含20年)高等教育教學經歷，高職高專院校候選人原則上須具有10年(含10年)以上高職高專教學經歷，這表明教齡對教師成為教學名師有直接的影響。從表3可以看出，教齡在20～30年的名師比例占到了63.9％，其次30年以上的為20.1％，lO年以下的僅占3.1％，說明成為教學名師需要教師在教學崗位上的長期堅持和鉆研，教齡的時間積淀是必不可少的。
4.性別分布情況
由表4可以看出，在194名高等學校教學名師中，有158位為男性，占到總數比例的81.4％，這一絕對的比例說明性別因素對于高等學校教學名師的成長有一定的影響，男教師成為名師的概率要比女性的大很多。但我們也可以看到這樣一種趨勢，第五屆女性教學名師的比例相對第四屆而言呈明顯上升趨勢，也許這存在一定偶然性，男女機會均等應該成為一種追求。
5.學歷分布情況
從表5可以看出，高等學校教學名師中，碩士、博士等高學歷者占絕大部分，部分大學本科學歷的主要都是教齡長、教學與科研貢獻突出的年長的教師，稍年輕一些的教師學歷基本都在碩士以上。教師自身所受的教育程度會影響到高等學校教學名師的發展，現代高等學校教育的發展對教師綜合素質和能力的挑戰越來越大、要求越來越高，教師也需要不斷加強學習和專業能力的發展。
6.任職的學校情況
由表6可以看出，任職于本科院校的教學名師為152名，占到總數的78.4％，這說明高等學校教學名師還是以本科院校的教師為主要發展對象。但與第一、二屆高職高專院校名師名額極少、評選指標體系沿用本科院校的情況相比，已經有很大的改觀，不僅有了獨立的針對高職高專院校名師評選的指標體系，而且名額分配上也有較大的變化，這充分體現了國家和社會對高職高專教育的重視和對其學校教師的認可。
7.擔任行政職務情況
從表7可以看出，在194位教學名師中，擔任校長、院長、主任等各種行政職務的有178位，占到了91.8％，有的教師還身兼數職；而從表7也可以看出歷屆教學名師當中，擔任副系主任及其以上行政職務者的比例呈明顯的上升趨勢。從這些統計結果可以看出高校教學名師與行政職務高度關聯，為官與為師能否兼顧?這二者是兼容還是彼此剝離?這值得大眾思考。
三、教學名師的“教學”
教學是學校教育最關鍵的環節，教學名師之所以為名師，是其立足于教學，創造性地實施了教學基本環節，并卓有成效。
1.積極促進教學內容更新
縱觀近幾屆的高等學校教學名師，他們在教學內容這一塊往往有所更新和創造，他們大多注重教學內容的基礎性、系統性和科學性，善于研究和追蹤國內外相關領域的最新理論成果，并把新概念、新原理、新方法等帶入課
堂，從而豐富課堂教學內容，開拓學生的眼界。同時，會重組課程內容，摒棄某些陳舊重復的課本知識，提煉課程的基礎性內容。有的為促進教學內容的更新，會積極地組織參與編寫或修改相關教材，使教材的內容更加靈活生動、更加貼近學生的生活。
可以看出，多數教學名師不僅僅向學生傳輸固有的課本知識，而且能將各相關學科的知識加以整合，并根據學生的特點和原有的知識水平，重新編排和創設出有針對性的教學內容，使得所教授的內容更加符合學生的需要。
2.不斷改革教學方法
教學名師在長期的教學工作實踐中，往往都積累了豐富的教學經驗、掌握了高超的教學技巧和一套科學而又富有個性的教學方法，在教學方法改革方面做出了突出貢獻。
在研究第四、第五屆高等學校教學名師的參選資料時，筆者發現，這些名師都比較注重發揮學生在教學活動過程中的主體作用，發現他們主要采用啟發式、討論互動式、發現式、探究性學習、結構化、開放式等各種教學方法，目的在于激發和培養學生的學習興趣，發展學生的基本學習能力和研究能力。在此基礎上，培養學生發現問題和解決問題的實際能力，從而培養學生的創新精神。這些教學名師的教學方法大多含有授之以魚、不如授之以漁的思想。
3.積極地開發與應用各種教學手段
在網絡信息技術日益發達的現代社會，教學也不只僅限于實體教室的平面教學，從實體課堂走向網絡課堂教學是現代教學發展的一個基本趨勢。在這種情況下，充分利用現代教育技術手段、利用網絡和現代多媒體等先進設備來輔助傳統的課堂教學顯得尤為重要。
在教學手段的開發與應用方面，這些教學名師也往往走在前沿。他們除了熟練運用多媒體教學外，還積極地建設和開發包括教材、電子教案和網絡教學軟件等在內的立體化教學資源，搭建網絡教學平臺，使得各種教學資源自成體系又相互關聯、互為補充又各顯優勢。網絡教學資源的共享可以滿足不同專業層次類型學習者的需求。這些現代教學手段的開發和應用，極大地擴充了課堂的信息量，拓寬了學生的知識面，也提高了學生的學習興趣和熱情，為學生自主學習、個性化學習提供了便利，同時也有助于課程建設成果的應用、共享和推廣。
4.一流的科研為教學提供支撐
教學和科研是相互依托的。雖然現實中由于教師的個人精力及其他主客觀條件有限，教學和科研難以均衡發展，但科研對教學名師的成長和成熟起著不可或缺的作用，學術研究的廣度和深度影響著教師的教學水平和教學質量。
教學名師評選考核的指標也包含了科學研究與學術水平，歷屆教學名師都積極地主持或承擔多項高級別的科研項目，并取得了顯著的科研成果，撰寫相關的專著或論文，及時地向學生傳播最優秀、最先進的科研成果，積極地參與教學改革項目，讓自己的課堂更能吸引學生。
5.教學獲得學生高度認可
1 概述
迄今為止，許多學者對賦權無向圖中的最小生成樹問題已經進行了研究，提出了很多有效地求解算法，例如破圈法、避圈法等。其實最小生成樹問題也可以用整數規劃來表示，謝金星教授已給出了最小生成樹問題的數學表達式[1]，但其中的無圈等價條件沒有證明，并且無圈的等價條件還有許多種表示方法[2-9]，這些表示方法雖然數學表達式不同，但本質上是相同的。因此，該文將對無圈的等價條件給出證明，并給出賦權有向圖中最小生成樹問題的數學模型。
2 賦權無向圖中最小生成樹問題的數學模型
對一賦權無向圖G，我們假定G無重邊和環，即G為簡單圖，事實上，若G不是簡單圖，則有以下引理保證也可以求G的最小生成樹。
引理：給定賦權無向圖G，若G有重邊和環，則去掉后結果不會比原來的差。
證明：若G有環，直接去掉，若G有重邊，則將重邊按權從大到小排列，只留下邊權最小的邊，其余的重邊全去掉，得到新圖G*。由于最小生成樹問題是要求權最小的生成樹，故由G*的生成方式知，G*的最小生成樹就是G的最小生成樹。
我們用有向圖的思想來解決無向圖的最小生成樹問題。事實上，我們把無向圖中的邊加倍，看成是不同方向的雙弧，這樣，就把無向圖轉化成了有向圖。我們首先給出有向樹及其相關概念。
定義1 如果有向圖在不考慮邊的方向時，是一棵樹，那么這個有向圖稱為有向樹。進一步，如果有一顆有向樹T，恰有一個頂點的入度為0，其余頂點的入度都為1，則稱T為根樹。
定義2 在有向樹T=（V，A）中，當（u，v）∈A時，稱u是v的父親，v是u的兒子。
給定賦權無向圖G（V，E），我們將它變成有向圖，用[dij]表示兩頂點[vi]與[vj]之間的距離，即邊的權值；用決策變量[xij]表示頂點vi與vj之間的父子關系，xij=1表示頂點vi是vj的父輩，xij=0表示vi不是vj的父親。在賦權無向圖的最小生成樹中，我們可以指定任一個分枝點為樹的根，故不妨設頂點[v1]為生成樹的根。則該問題的數學模型為：
[minD=（vi，vj）∈Edijxij；s.t.vj∈Vx1j≥1，vj∈Vxji=1， i≠1，xij=0或1.各邊不構成圈.]
其中第一組約束表示根[v1]至少有一條邊連接到其它的頂點；第二組約束表示除根外，每個頂點只能有一條邊進入；同時注意到，各條邊均不構成圈.目標函數表示總距離最小。
對于數學模型（1.1）中的“各邊不構成圈”的條件，從模型應用和實現的角度，我們給出各邊不構成圈的充要條件：
定理1 設T（V， A）是有向圖，且存在一點v1∈V，滿足d-（v1）=0，而對任意的vi（i≠1）有d-（vi）=1，則T無圈當且僅當存在一組[l（vi）∈1，…，n-1]，[i=2，…，n，]使得
[lvj≥l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji，i，j=2，3，…，n，i≠j，]
其中xij=1表示（vi，vj）∈A； xij=0表示（vi，vj）[?]A.
證明：
1） 必要性
假設T（V， A）無圈，則由根樹的定義，T為一根樹，v1為根，現將T的頂點從根開始按下標從小到大排列，則排列后的頂點滿足：若[vi]是[vj]的父親，則i
下證不等式[lvj≥l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji，i，j=2，3，…，n，i≠j]成立。
若xij=0，①xji=0，此時
[l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji=l（vi）-n-2≤n-1-n-2≤lvj，]
②xji=1，表明vj是vi的父親，此時
[l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji=l（vi）-1=lvj.]
不等式成立。
若xij=1， 表明vi是vj的父輩，此時xji=0，則有
[l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji=l（vi）+1=lvj，]
不等式成立。
2） 充分性
由于T（V， A）是有向圖，且存在一點v1∈V，滿足d-（v1）=0，而對任意的vi（i≠1）有d-（vi）=1，故假定T中有圈[（vi1，vi2，...，vim，vi1），]則有[xi1xi2=xi2xi3=…=xim-1xim=ximxi1=1，]故有
[l（i2）-l（i1）≥1，l（i3）-l（i2）≥1，…，l（im-1）-l（im）≥1，l（i1）-l（im）≥1，]相加得0≥n，矛盾，所以T無圈。
定理2 賦權無向圖的最小生成樹問題的數學模型為：
[minD=（vi，vj）∈Edijxij；s.t.vj∈Vx1j≥1，vj∈Vxji=1， i≠1，xij=0或1.lvj≥lvi+xij-n-2?1-xij+n-3?xjilvi=0，1，2，…，n-1.]
3 賦權有向圖最小生成樹問題的數學模型
設T（V，A）是一棵根樹，vk（k=1，2，…，n）為樹根，則有以下定理：
定理3 當G（V，A）為賦權有向圖時，G的最小生成樹問題的數學模型為：
[minD=i=1nj=1j≠indijxij；s.t.vj∈Vj≠kxkj≥1，vj∈Vj≠ixji=1， i≠k，xij=0或1.lvj≥lvi+xij-n-2?1-xij+n-3?xjilvi=0，1，2，…，n-1.]
其中第一組約束表示根[vk]至少有一條邊連接到其它的頂點；第二組約束表示除根外，每個頂點只能有一條邊進入；同時注意到，各條邊均不構成圈.目標函數表示總距離最小.模型（1.4）可以利用lingo、matlab數學軟件等求解。
4 實例驗證
例：考慮具有8個頂點v1，v2，…，v8的賦權無向圖，定義在邊上的權重如表1所示，求該圖的最小生成樹。
從教學藝術的角度分析，霍老師教學的“聰明”之處在于以下幾個方面。
其一，善于營造教學氛圍。霍老師用一句富有鼓動性的提問“你們愿意做聰明的孩子嗎”，獲得學生積極的響應：都爭先恐后地舉起了手。一般說來，如果沒有學生的積極響應，單靠教師是很難形成積極的教學氛圍的?；衾蠋熒钌疃貌蚀_地抓住小學生爭強好勝的心理，才能一句話說到學生的心坎上。教學有了學生積極參與的熱烈氛圍，便奠定了走向成功的基調。
其二，巧妙設置教學懸念?；衾蠋熣f“每個人都有四件寶”，這已經讓學生急于了解答案了：“如果學會了運用這四件寶，人就會聰明起來”，這樣的寶貝誰不想要啊；“這四件寶是什么呢？”這簡直就是所有學生都想問的問題。但霍老師就是能沉住氣，偏偏賣個關子：“我暫時不講。”真讓人著急呀！“先讓你們猜幾則有關人體器官的謎語?！边@讓學生特別期待猜謎語之后能夠揭曉答案。
其三，引導體驗思維樂趣。猜謎語是學生喜聞樂見的活動，因為一方面謎語的特點是“不說破”，需要猜謎者積極思考，是有益思維發展的智力活動；另一方面，學生經過自己的獨立思考猜出正確答案，會體驗到思維活動的樂趣，這樣就能促使他們更加喜歡思維活動。所以，霍老師要學生猜謎語，正是要讓思維成為課堂教學的主旋律，使學生在思維活動中發展思維能力。
其四，注重良好習慣養成。小學教育擔負著養成習慣的任務。學生一旦養成良好習慣，便會終生受益。每當學生猜中一則謎語后，霍老師就讓學生講講這個人體器官的作用。同時，霍老師聯系學生實際，適時引導學生養成良好習慣：“在上課時，要仔細看，但不要東張西望；要認真說，但不要隨意說話。總之，要多聽、多看、多想、多說?！?/p>
其五，形成師生教學默契。課后第二天，霍老師再次發揮教學機智，問了一句讓學生回顧昨天上課情景的問題：“四件寶，都帶來了嗎？”學生心領神會：“帶來了！”
