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第1篇

書是隨時在近旁的顧問，隨時都可以供給你所需要的知識，而且可以按照你的心愿，重復(fù)這個顧問的次數(shù)。下面小編給大家分享一些八年級下物理知識點(diǎn)，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

八年級下物理知識點(diǎn)1浮力知識點(diǎn)總結(jié)

1.浮力：一切浸入液體的物體，都受到液體對它豎直向上的力，這個力叫浮力。

浮力方向總是豎直向上的。(物體在空氣中也受到浮力)

2.物體沉浮條件：(開始是浸沒在液體中)

方法一：(比浮力與物體重力大小)

(1)F浮 < G ，下沉;(2)F浮 > G ，上浮 (3)F浮 = G ， 懸浮或漂浮

方法二：(比物體與液體的密度大小)

ρ物 < ρ液， 下沉;(2) ρ物 > ρ液， ， 上浮 (3) ρ物 = ρ液，懸浮。(不會漂浮)

3.浮力產(chǎn)生的原因：浸在液體中的物體受到液體對它的向上和向下的壓力差。

4.阿基米德原理：浸入液體里的物體受到向上的浮力，浮力大小等于它排開的液體受到的重力。

(浸沒在氣體里的物體受到的浮力大小等于它排開氣體受到的重力)

5.阿基米德原理公式：

6.計(jì)算浮力方法有：

(1)稱量法：F浮= G — F ，(G是物體受到重力，F(xiàn) 是物體浸入液體中彈簧秤的讀數(shù))

(2)壓力差法：F浮=F向上-F向下

(3)阿基米德原理：

(4)平衡法：F浮=G物 (適合漂浮、懸浮)

7.浮力利用

(1)輪船：用密度大于水的材料做成空心，使它能排開更多的水。這就是制成輪船的道理。

(2)潛水艇：通過改變自身的重力來實(shí)現(xiàn)沉浮。

(3)氣球和飛艇：充入密度小于空氣的氣體。

八年級下物理知識點(diǎn)2壓強(qiáng)知識點(diǎn)總結(jié)

1.壓力：垂直作用在物體表面上的力叫壓力。

2.壓強(qiáng)：物體單位面積上受到的壓力叫壓強(qiáng)。

3.壓強(qiáng)公式：P=F/S

，式中p單位是：帕斯卡，簡稱：帕，1帕=1牛/米2，壓力F單位是：牛;受力面積S單位是：米2

4.增大壓強(qiáng)方法

:(1)S不變，F(xiàn);(2)F不變，S (3) 同時把F，S。而減小壓強(qiáng)方法則相反。

5.液體壓強(qiáng)產(chǎn)生的原因：是由于液體受到重力。

6.液體壓強(qiáng)特點(diǎn)：(1)液體對容器底和壁都有壓強(qiáng)，(2)液體內(nèi)部向各個方向都有壓強(qiáng);

(3)液體的壓強(qiáng)隨深度增加而增大，在同一深度，液體向各個方向的壓強(qiáng)相等;(4)不同液體的壓強(qiáng)還跟密度有關(guān)系。

7.-液體壓強(qiáng)計(jì)算公式：，(ρ是液體密度，單位是千克/米3;

g=9.8牛/千克;h是深度，指液體自由液面到液體內(nèi)部某點(diǎn)的豎直距離，單位是米。)

8.根據(jù)液體壓強(qiáng)公式：可得，液體的壓強(qiáng)與液體的密度和深度有關(guān)，而與液體的體積和質(zhì)量無關(guān)。

9.證明大氣壓強(qiáng)存在的實(shí)驗(yàn)是馬德堡半球?qū)嶒?yàn)。

10.大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的原因：空氣受到重力作用而產(chǎn)生的，大氣壓強(qiáng)隨高度的增大而減小。

11.測定大氣壓強(qiáng)值的實(shí)驗(yàn)是：托里拆利實(shí)驗(yàn)。

12.測定大氣壓的儀器是：氣壓計(jì)，常見氣壓計(jì)有水銀氣壓計(jì)和無液氣壓計(jì)(金屬盒氣壓計(jì))。

13.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：把等于760毫米水銀柱的大氣壓。

1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。

14.沸點(diǎn)與氣壓關(guān)系：一切液體的沸點(diǎn)，都是氣壓減小時降低，氣壓增大時升高。

15.流體壓強(qiáng)大小與流速關(guān)系：在流體中流速越大地方，壓強(qiáng)越小;

流速越小的地方，壓強(qiáng)越大。

八年級下物理知識點(diǎn)3力知識點(diǎn)總結(jié)

1.什么是力：力是物體對物體的作用。

2.物體間力的作用是相互的。

(一個物體對別的物體施力時，也同時受到后者對它的力)。

3.力的作用效果：力可以改變物體的運(yùn)動狀態(tài)，還可以改變物體的形狀。

(物體形狀或體積的改變，叫做形變。)

4.力的單位是：牛頓(簡稱：牛)，符合是N。

1牛頓大約是你拿起兩個雞蛋所用的力。

5.實(shí)驗(yàn)室測力的工具是：彈簧測力計(jì)。

6.彈簧測力計(jì)的原理：在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長與受到的拉力成正比。

7.彈簧測力計(jì)的用法：(1)要檢查指針是否指在零刻度，如果不是，則要調(diào)零;

(2)認(rèn)清最小刻度和測量范圍;(3)輕拉秤鉤幾次，看每次松手后，指針是否回到零刻度，(4)測量時彈簧測力計(jì)內(nèi)彈簧的軸線與所測力的方向一致;⑸觀察讀數(shù)時，視線必須與刻度盤垂直。(6)測量力時不能超過彈簧測力計(jì)的量程。

8.力的三要素是：力的大小、方向、作用點(diǎn)，叫做力的三要素，它們都能影響力的作用效果。

9.力的示意圖就是用一根帶箭頭的線段來表示力。

具體的畫法是：

(1)用線段的起點(diǎn)表示力的作用點(diǎn);

(2)延力的方向畫一條帶箭頭的線段，箭頭的方向表示力的方向;

(3)若在同一個圖中有幾個力，則力越大，線段應(yīng)越長。有時也可以在力的示意圖標(biāo)出力的大小，

10.重力：地面附近物體由于地球吸引而受到的力叫

重力。重力的方向總是豎直向下的。

11.重力的計(jì)算公式：G=mg，(式中g(shù)是重力與質(zhì)量的比值：g=9.8牛頓/千克，在粗略計(jì)算時也可取g=10牛頓/千克);

重力跟質(zhì)量成正比。

12.重垂線是根據(jù)重力的方向總是豎直向下的原理制成。

13.重心：重力在物體上的作用點(diǎn)叫重心。

14.摩擦力：兩個互相接觸的物體，當(dāng)它們要發(fā)生或

已經(jīng)發(fā)生相對運(yùn)動時，就會在接觸面是產(chǎn)生一種阻礙相對運(yùn)動的力，這種力就叫摩擦力。

15.滑動摩擦力的大小跟接觸面的粗糙程度和壓力大小

有關(guān)系。壓力越大、接觸面越粗糙，滑動摩擦力越大。

16.增大有益摩擦的方法：增大壓力和使接觸面粗糙些。

減小有害摩擦的方法：(1)使接觸面光滑和減小壓力;(2)用滾動代替滑動;(3)加油;(4)利用氣墊。(5)讓物體之間脫離接觸(如磁懸浮列車)。

八年級下物理知識點(diǎn)4簡單機(jī)械知識點(diǎn)總結(jié)

1.杠桿：一根在力的作用下能繞著固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的硬棒就叫杠桿。

2.什么是支點(diǎn)、動力、阻力、動力臂、阻力臂?

(1)支點(diǎn)：杠桿繞著轉(zhuǎn)動的點(diǎn)(o)

(2)動力：使杠桿轉(zhuǎn)動的力(F1)

(3)阻力：阻礙杠桿轉(zhuǎn)動的力(F2)

(4)動力臂：從支點(diǎn)到動力的作用線的距離(L1)。

(5)阻力臂：從支點(diǎn)到阻力作用線的距離(L2)

3.杠桿平衡的條件:動力×動力臂=阻力×阻力臂.或?qū)懽鳎篎1L1=F2L2

或?qū)懗?。這個平衡條件也就是阿基米德發(fā)現(xiàn)的杠桿原理。

4.三種杠桿：

(1)省力杠桿：L1>L2,平衡時F1

(2)費(fèi)力杠桿：L1F2。特點(diǎn)是費(fèi)力，但省距離。(如釣魚杠，理發(fā)剪刀等)

(3)等臂杠桿：L1=L2,平衡時F1=F2。特點(diǎn)是既不省力，也不費(fèi)力。(如：天平)

5.定滑輪特點(diǎn)：不省力，但能改變動力的方向。

(實(shí)質(zhì)是個等臂杠桿)

6.動滑輪特點(diǎn)：省一半力，但不能改變動力方向,要費(fèi)距離.(實(shí)質(zhì)是動力臂為阻力臂二倍的杠桿)

7.滑輪組：使用滑輪組時,滑輪組用幾段繩子吊著物體,提起物體所用的力就是物重的幾分之一。

八年級下物理知識點(diǎn)5運(yùn)動和力知識點(diǎn)總結(jié)

1.牛頓第一定律：一切物體在沒有受到外力作用的時候，總保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)。

(牛頓第一定律是在經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上，通過進(jìn)一步的推理而概括出來的，因而不能用實(shí)驗(yàn)來證明這一定律)。

2.慣性：物體保持運(yùn)動狀態(tài)不變的性質(zhì)叫慣性。

牛頓第一定律也叫做慣性定律。

3.物體平衡狀態(tài)：物體受到幾個力作用時，如果保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，我們就說這幾個力平衡。

當(dāng)物體在兩個力的作用下處于平衡狀態(tài)時，就叫做二力平衡。

第2篇

第一次月考還是來了，它真的是一面鏡子把這段時間的學(xué)習(xí)都照得清清楚楚，下面是小編為大家整理的關(guān)于第一次月考的總結(jié)范文，希望對你有所幫助，如果喜歡可以分享給身邊的朋友喔!

第一次月考的總結(jié)范文1剛升入初中的我，對一切新事物都很好奇。而初中的學(xué)習(xí)也改變了很多。政治地理以及小學(xué)從未接觸過的生物歷史，也變成了主要的科目。

還記得上學(xué)大概一個多月了，我們要進(jìn)行一次月考，老師一周前就對我們說了，可我的“讀書”方法，只是大概的瀏覽一邊，作業(yè)寫完了就睡覺了。

上課的時候，老師講的一切重點(diǎn)知識，我只記在了一個本子上，大概意思不是很明白。地理課，我是一點(diǎn)也不明白，老師留作業(yè)，我都是照同學(xué)抄的，除了地理外，別的課都還行。

一周的時間，很快就過去了。在月考的前一晚，我先看了看語文書，看了古文部分，每篇文章的作者朝代都是沒什么問題的。例如《木蘭詩》選自《樂府詩集》作者是宋代郭茂倩等等，這些文學(xué)常識我都會背。所以，由只會文學(xué)常識的語文有轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)可以說是我的強(qiáng)項(xiàng)，因?yàn)槲沂菙?shù)學(xué)課代表，所以數(shù)學(xué)我沒總復(fù)習(xí)，只是翻了幾頁。該到英語了，英語我是一點(diǎn)也不會，可以這么說，英語認(rèn)識我，我不認(rèn)識英語，在這種情況下，我只背了單詞。之后的時間我看了看小說等。月考的前一天我是這么度過的。

到了月考這一天，我有一些緊張。有什么我會的題也答錯了，可能因?yàn)榫o張的關(guān)系，也可能因?yàn)槲覜]復(fù)習(xí)好埃數(shù)學(xué)題我太過自信，而算錯很多題。成績下來后我真的很失望。

月考讓我明白了，考試之前要好好復(fù)習(xí)。

第一次月考的總結(jié)范文21.失去信心

“不知道怎么回事，一上數(shù)學(xué)課就覺得沒勁，但又覺得自己應(yīng)該認(rèn)真聽講，所以有些懼怕。上數(shù)學(xué)課感覺心里很煩躁，上課效率也減半了?！?/p>

“多次以來，數(shù)學(xué)考試成績都很不如意，我對數(shù)學(xué)失去信心了。甚至開始害怕數(shù)學(xué)，有時也對老師產(chǎn)生一種莫名的害怕?！?/p>

2.不努力，不認(rèn)真

“上課沒有好好抓進(jìn)課堂四十分鐘的'時間，課后沒有好好復(fù)習(xí)，做作業(yè)馬馬虎虎，課外輔導(dǎo)書更是沒有認(rèn)真做過，純屬應(yīng)付?！?/p>

3.知識點(diǎn)梳理不夠

“我固然做到了學(xué)，但沒有做到想，甚至從來不思考?！?/p>

“我現(xiàn)在終于發(fā)現(xiàn)思路、思維比解題更重要。”

4.時間不夠

“當(dāng)我決定中午問老師問題時，可不巧，英語老師來了!而且整整三節(jié)晚自修家作都來不及做，更何況解決疑難呢?”

5.不能、不會問問題

“還是和以前一樣，有問題沒有問老師，因?yàn)槲遗挛覇柕膯栴}太簡單，可能由于這樣想，使我的困難越積越厚，可我就是不敢問。有這心，沒這膽?！?/p>

6.“失誤”不斷

“每次考試我都很緊張。又是一個很簡單的題目或式子我也看很多遍，如12 + 36 = 48我都要算兩遍，就怕算錯?！?/p>

事情過了好久了，好在我這次期末又扳了回來，耶!我要做到勝不驕，敗不餒!

第一次月考的總結(jié)范文3一陣揪心的鈴聲響過，我的心也變得忐忑不安起來，“咚咚，咚咚……”老師的腳步聲越來越近了，這時老師走進(jìn)了教室。喧鬧的教室里馬上變得鴉雀無聲，連自己的呼吸聲都聽得一清二楚。突然，月考試卷就如雪花一般飛來。這是自從我轉(zhuǎn)學(xué)以來的第一次月考，也是人生中的第一次。

考試時，我心中就如有一只活蹦亂跳的小兔子，在不停地奔跑著、跳著，使我的心砰砰的跳，心里七上八下，如激蕩的湖水一樣不平靜。我一次又一次的警告自己：一定要認(rèn)真，不能馬虎。正當(dāng)我寫完基礎(chǔ)題和閱讀題要開始寫作文時，筆突然沒墨了，我的心慌了：怎么辦。我該怎么辦呢?我停了下來。猛然間，我才發(fā)覺我應(yīng)該還有一只備用的，我忙打開鉛筆袋，將那只備用的筆拿了出來。我慌慌忙忙地寫著，生怕馬上要收卷了，不一會兒就收了筆。望著前面的字跡，這才發(fā)覺我寫的字太過于潦草、太小，又用了修正帶，這肯定又會扣個一分兩分的。心中充滿內(nèi)疚，后悔得不得了。

考試時的教室里，同學(xué)們正全神貫注的寫著試卷，教室里沒有聲音，只有沙沙寫字聲，人人都“埋頭苦干”，有的咬著筆頭思考問題，有的正文思如泉，把想好的答案寫在試卷上，有的因?yàn)橄氩怀龃鸢付p眉緊鎖，有的為大功告成而欣喜若狂。

“收卷?！蓖蝗?，老師一聲令下，我顫抖得交了卷，坐在位子上回憶著考試試卷上內(nèi)容和題目。我的耳朵中灌滿同學(xué)們議論考試試卷答案的聲音，我聽不下去，也不想去同他們一起討論。生怕我會提前知道我要考砸了的消息。

第一次月考的總結(jié)范文4初中的第一次月考成績已經(jīng)出爐，語文92分全班第一，數(shù)學(xué)98分居次席，英語100，綜合91，第一次月考的反思。這看似良好的成績，其中還藏著小小的遺憾，這些遺憾都是由疏忽大意造成的。

先說語文，除去作文扣的四分，其余的四分丟的真不就應(yīng)，兩道題回答不完整各扣一分，一道沒加引號扣一分，一道“畫蛇添足”扣掉一分。我如果能一絲不茍的去完成它們，語文成績豈不是一個多么可觀的數(shù)字?

數(shù)學(xué)的馬虎更不就應(yīng)，一失手成千古恨，把x的絕對值當(dāng)成了x，雖說一個是對的，但把絕對值弄成個負(fù)數(shù)，簡直心里后悔地像老鼠在撓。唉，只能怪自我太大意了吧。

歷史部分更是大傷元?dú)?，司母戊鼎的歷史地位如何一題，標(biāo)準(zhǔn)答案是世界上現(xiàn)存最大的青銅器，可我粗劣加工寫成了世界上最大的鼎，這還不算，我在后面加上了四個字——用于祭祀，本該扣一分，因?yàn)樗鼈兯膫€又扣掉一分。

生物別提，43分，要不是歷史的的頑強(qiáng)抵抗，綜合否則失守90分，生物課代表沒戲了。

月考的一系列失誤，由于馬虎失分的多，把自我會做的做錯，不后悔才怪呢!以后類似的錯誤不要再犯，無論做什么馬虎總會耽誤大局。第二“畫蛇添足”讓我吃虧不少，復(fù)習(xí)資料的時候，要把每個知識點(diǎn)弄清、搞明白，每一天學(xué)過的知識要及時溫習(xí)。溫故而知新，能夠?yàn)閹熞印?/p>

月考，其實(shí)并不是多么難，認(rèn)真、細(xì)心的態(tài)度會造就一切。

第一次月考的總結(jié)范文5光陰似箭，日月如梭，第一次月考落下帷幕。排名和不理想的成績，不由得引起我的深思。

在楓楊的第一個月里，完全可以說我在學(xué)習(xí)上一點(diǎn)沒有用心!教師布置的作業(yè)，我僅僅按照最低標(biāo)準(zhǔn)完成。我沒有做到預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)，課堂上也沒有專心致志，一絲不茍地聽講，大腦死氣沉沉。這樣的聽課狀態(tài)，我的學(xué)習(xí)效率能高嗎?對于平日的練習(xí)，我絲毫沒放在心上，總會有一兩個小錯誤。所以到月考時，我與那些認(rèn)真的同學(xué)的差距就很明顯。在空余的時間里，我不是跟同學(xué)說話，就是想著該怎么玩。于是，我又浪費(fèi)掉不少時間。就連月考前的國慶長假里，我依舊沉迷于歡樂之中，書本沒有碰過一下。我這樣做的結(jié)果只有一個——我的成績?nèi)缱莅阒本€下滑，我被遠(yuǎn)遠(yuǎn)地甩在了第40名!

語文是我這次月考最不理想的一門。79分，讓我明顯感到自己的差距。我必須端正我的學(xué)習(xí)態(tài)度!課內(nèi)知識一定要記牢，下次絕對不能再錯。閱讀理解失掉13分!教師講的做題方法要用心記，用心體會。93分的數(shù)學(xué)卷子完全沒考出我的水平。我還有很大提分的空間。要復(fù)習(xí)錯題，重視平時練習(xí)。英語，我認(rèn)為是最不該錯的，下次考試要考100分。學(xué)習(xí)時要注意力集中，提高效率。對于“史地政生”4門課，我以為只要感興趣，就可以學(xué)好。這4門課的學(xué)習(xí)方法是把知識背下來，記牢。

第3篇

一、標(biāo)點(diǎn)符號不合乎規(guī)范

1.無疑而問的陳述句，句尾誤用問號

八（上）第10課余秋雨的《信客》，導(dǎo)引中：“熟讀課文，體察信客的語言、行動和心理，看看他們具有什么樣的品格和精神；同時看看周圍，有沒有這種類型的人？”句中的問號使用不合乎規(guī)范。本句是無疑而問的陳述句，句末應(yīng)該用句號。像這種類型的句子在第16課《大自然的語言》和第21課《桃花源記》的導(dǎo)引中均有出現(xiàn)。如：“閱讀本文，想一想，作者是怎樣用準(zhǔn)確的語言和清晰的條理把一門復(fù)雜的學(xué)科介紹清楚的？”“讀后還要仔細(xì)想想，對作者的理想應(yīng)當(dāng)怎樣認(rèn)識，這個故事為什么具有長久的魅力？”兩句的句末都誤用了問號。

2.總括句前面誤用逗號

八（上）第26課酈道元的《三峽》，第一段中的“隱天蔽日”與“自非亭午夜分”之間不應(yīng)該用逗號，而應(yīng)該用冒號。因?yàn)椤白苑峭の缫狗郑灰婈卦隆笔菍η懊嫠袃?nèi)容的總結(jié)?！白匀龒{七百里中，兩岸連山，略無闕處”是在寫“嶺連”；“重巖疊嶂，隱天蔽日”是在寫“山高”。因?yàn)椤吧礁邘X連”，所以才有“自非亭午夜分，不見曦月”的效果。也就是說最后這兩句是對前文進(jìn)行總括的語句，冒號用在總括語的前面，表示總結(jié)上文，逗號沒此功用。

3.連詞前誤用頓號

八（上）第29課張岱的《湖心亭看雪》，“湖心亭一點(diǎn)、與余舟一芥”中間使用頓號不恰當(dāng)。連詞前面不能用頓號，可根據(jù)不同句子的情況，或者刪去頓號，或者改用逗號。雪后的西湖已成為一片大的冰雪世界，“湖心亭一點(diǎn)”和“余舟一芥”是在大的背景烘托之下出現(xiàn)的小事物，這兩個小事物屬于并列關(guān)系。既然是并列關(guān)系，“、”和“與”就不應(yīng)該同時用。另外本文中的“霧凇沆碭，天與云與山與水，上下一白”中的“天”“云”“山”“水”屬并列關(guān)系，它們之間只用了“與”來連接，而沒有同時用“、”和“與”來連接。從這里也可以看出，此文的標(biāo)點(diǎn)符號出現(xiàn)前后矛盾之處！

二、文言字詞解釋有誤

1.“船底”被解釋成“船頂”

八（上）第23課魏學(xué)的《核舟記》中“其船背稍夷，則題名其上”，“船背”該如何解釋？在課本P180的課下注解⒄中，它的意思為“船的頂部”。但在商務(wù)印書館出版《古漢語常用字字典》（第4版）中標(biāo)注的義項(xiàng)為“脊背，泛指物體的背面，反面”。針對此種義項(xiàng)，有很多人認(rèn)為船的背面就是船的頂部?？雌饋硭坪跤械览恚珜?shí)際上又不經(jīng)推敲。它的義項(xiàng)中除了“泛指物體的背面”外，還有“反面”之意。船的反面應(yīng)該是哪里？我認(rèn)為船的反面不是船的頂部，而應(yīng)該是船的底部。在外語教學(xué)與研究出版社出版的《古漢語詞典》中，“背”的義項(xiàng)為“物體的反面或物體朝后、朝下的一面”，并且后面附著“其船背稍夷，則題名其上”這個示例。那么在此文中，這個“背”的義項(xiàng)就應(yīng)該是“船的反面”或者“船的底部”。按正常的邏輯來判斷，船的正面應(yīng)該是人們第一眼就能看到的船身和船頂，而船的反面就是船的底部。除詞典上的釋義外，我們再結(jié)合語境來分析：如果按照“船的頂部”來解釋，那么船的頂部應(yīng)該為船艙的頂部。如果船艙的頂部不算高，在高度上來講，坡在上面題字還是有可能的。但是本文中的“中軒敞者為艙”的意思卻為“中間高起而寬敞的部分是船艙”，有“高”和“寬敞”，想必蘇軾在上面題字還是比較困難的。除了高度外，還有一句“箬篷覆之”，意思是“用箬竹葉做的船篷”。既然已經(jīng)有船篷了，就說明船艙的頂部已經(jīng)雕刻了箬竹葉。把箬竹葉和題名刻在一起， 題名如何能達(dá)到文中所說的“細(xì)若蚊足，勾畫了了”的效果？從美觀上來看，古人的文章、畫等作品題目落款時往往都會選擇左下角，避免沖淡作品的主題。魏學(xué)在雕刻這幅圖景時應(yīng)該會考慮蘇軾的題名放在船的底部更合適，若蘇軾題在船艙頂部就有喧賓奪主之嫌了。所以結(jié)合語境來看，“背”應(yīng)該解釋為“底部”。

2.“更定”被解釋為“定更”

八（上）第29課張岱的《湖心亭看雪》，“更定”釋為“指初更以后，晚上八點(diǎn)左右”。就目前來看，杭州西湖冬天在晚上六點(diǎn)左右天黑。在崇禎五年即1632年，晚上八點(diǎn)左右就是初更，而“更”是夜里的計(jì)時單位。這說明此時已經(jīng)天黑。既然已經(jīng)天黑，如何能看到“霧凇沆碭，天與云與山與水，上下一白；湖上影子，惟長堤一痕、湖心亭一點(diǎn)、與余舟一芥、舟中人兩三粒而已”的景象？特別是在古代野外的夜晚，沒有照明的情況下，作者如何能看到“上下一白”的效果？另外，本文中的 “更定”是《現(xiàn)代漢語詞典》中提到的“定更”嗎？是否是譯者將二者混為一談了？“定更”在《現(xiàn)代漢語詞典》中的解釋為“舊時晚上八點(diǎn)鐘左右，打鼓報(bào)告初更開始”。而在依據(jù)最新中學(xué)語文教材編寫的《古漢語詞典》中查到了“更定”，它的義項(xiàng)為“更深夜靜”，而且舉的例子就是本文中的“是日更定矣”?！豆艥h語詞典》中“更”的義項(xiàng)為“夜里的計(jì)時單位，一夜分為五更，每更約兩小時（后起意義）”。《中學(xué)文言文多用詞典》中“定”的義項(xiàng)為“人聲靜謐”，針對此義項(xiàng)所舉的例子也是此文中的“是日更定矣”。“矣”的義項(xiàng)為“語氣詞，相當(dāng)于現(xiàn)代漢語的‘了’”。綜合上面各個義項(xiàng)，先從“人聲靜謐”入手去分析，雖然深夜比較安靜，但是古代晚上還是有打更的人出來打更，有打更的聲音和打更人提醒大家防范的喊聲。每兩小時一次，還無法達(dá)到人聲靜謐，只有當(dāng)五更都打完了，即到了早上五六點(diǎn)那樣才真正的安靜下來。再加之“矣”是“了”之意，表完成時態(tài)?！案笨梢岳斫鉃椤按蚋保耙印毙揎棥案?，意為“打更完畢”。那么“更定矣”的意思就是“所有的打更聲結(jié)束后，人聲靜謐”。這時大概是早上五六點(diǎn)，而在杭州冬天日出的時間也剛好是五六點(diǎn)左右。在日出之后，作者出門才有可能看到“霧凇沆碭，天與云與山與水，上下一白；湖上影子，惟長堤一痕、湖心亭一點(diǎn)、與余舟一芥、舟中人兩三粒而已”這些景象。

3.“郁郁”被解釋為“形容草木茂盛”

八（下）第27課范仲淹的《岳陽樓記》，課下注解“郁郁”的意思為“形容草木茂盛”。但是商務(wù)印書館出版的《古漢語常用字字典》（第4版）中標(biāo)注為“香氣濃烈的樣子”，針對此義項(xiàng)所舉的例子恰巧就是本文中的“岸芷汀蘭，郁郁青青”。我認(rèn)為應(yīng)該翻譯為“香氣濃烈的樣子”。按照語境便可分析出來，“岸芷汀蘭，郁郁青青”中的“岸”譯為“岸上”。“芷”即白芷，香草名，可入藥也可做香料，白芷枝葉呈青色?！巴√m”譯為“小洲上的蘭花”，蘭花的枝葉也呈青翠色。由此可判斷出，白芷和蘭花發(fā)出濃烈的香氣，呈現(xiàn)出一片青蔥翠綠的顏色。所以此兩句應(yīng)該翻譯成“岸上的香草，小洲上的蘭花，香氣濃郁，顏色青翠”。

4.“極”被解釋為“盡”

八（下）第27課范仲淹的《岳陽樓記》中 “北通巫峽，南極瀟湘”，意思為“北面通向巫峽，南面直到瀟湘”。 從修辭角度分析，應(yīng)該是對偶句，即“通”與“極”的詞性一致，都是動詞。課本的課下注解“極” 被解釋為“盡”，那么“盡”作為動詞時有三個義項(xiàng)：①完，消失；②竭盡；③結(jié)束，完成。把這三個義項(xiàng)都帶入原句中進(jìn)行翻譯，明顯不合語法規(guī)范?！皹O”作為動詞時有一個義項(xiàng)是“至，到達(dá)”。我認(rèn)為此處的“極”翻譯成“至，到達(dá)”或“到，到了”更合適。

三、表意不明

1.小說中的“我”被表述成“作者”

八（上）第8課李森祥的《臺階》的體裁是小說，文中的“我”并不是作者本人，而在P67導(dǎo)引中的“作者是懷著怎樣的心情敘述父親的故事的”一句表意不明，易讓人產(chǎn)生“作者”就是“我”的誤解。此處不妨改成“作者是懷著怎樣的心情敘述文中‘我’的父親的故事的”。

2.并列謂語服務(wù)于同一個主語導(dǎo)致語意不明

在八下第25課的導(dǎo)引中，有一處文字“這些作品撫今追昔，慷慨悲憤，感時傷懷，思親憂國”表意不明，它的表述容易誤導(dǎo)讀者認(rèn)為這課中所有的詩詞曲都是“撫今追昔，慷慨悲憤，感時傷懷，思親憂國”的，但事實(shí)卻不是這樣。劉禹錫的《酬樂天揚(yáng)州初逢席上見贈》表達(dá)詩人長期被貶異地的悲憤心情，但更引人注目的是詩人對人生的達(dá)觀態(tài)度和積極進(jìn)取的精神。杜牧的《赤壁》抒發(fā)了詩人懷才不遇的抑郁不平之情和歷史興亡之感。文天祥的《過零丁洋》表現(xiàn)的詩人憂國之痛和愿意以死明志、為國捐軀的豪情壯志。蘇軾的《水調(diào)歌頭?明月幾時有》寄托了詞人對親人的無限思念之情，表現(xiàn)出其不為失意和離別所苦的曠達(dá)胸襟。張養(yǎng)浩的《山坡羊?潼關(guān)懷古》表達(dá)了作者的悲憤傷感之情，揭示出人民悲慘命運(yùn)的根源所在。綜上所述，各首有各自的感情特點(diǎn)，因此導(dǎo)引應(yīng)在“撫今追昔”“慷慨悲憤”“感時傷懷”和“思親憂國”的前面各加一個“有的”，這個句子就變成“這些作品有的撫今追昔，有的慷慨悲憤，有的感時傷懷，有的思親憂國”。這樣的表述才夠準(zhǔn)確。

四、對內(nèi)容分析不當(dāng)

第4篇

關(guān)鍵詞： 教材資源 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)方法

一、課題研究的現(xiàn)實(shí)背景和意義

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中曾指出：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。”這是數(shù)學(xué)教育家結(jié)合學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的切身體驗(yàn)對教師提出的肺腑之言。然而長期以來，可能由于受應(yīng)試教育和傳統(tǒng)教學(xué)思想的影響，一些教師只關(guān)注學(xué)生對知識的理解與掌握，只重視他們解題能力的提高，而忽視從這些知識的掌握和運(yùn)用中歸納、提取數(shù)學(xué)思想的能力，從而使學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)越來越難學(xué)，甚至?xí)劇皵?shù)”色變，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一堆冷冰冰的數(shù)字和奇特符號的組合，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給他們的只是“枯燥、繁難”的回味。事實(shí)上，這是學(xué)生受教師的不良影響，歪曲了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

首先，從學(xué)科本身的特點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)不僅僅是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法一般有兩種：一是數(shù)學(xué)思維方法，這是數(shù)學(xué)方法中較高層次的方法，是數(shù)學(xué)中思考問題的方法，它必須一開始就逐步滲透。二是數(shù)學(xué)解題方法，這是數(shù)學(xué)解題的通法，相對于特殊的解題技巧而言，它今后有系統(tǒng)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的之一在于訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的品質(zhì)，以及科學(xué)的世界觀和方法論，使學(xué)生能面對客觀現(xiàn)實(shí)，能用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析，從而使問題得以解決。

其次，從教學(xué)現(xiàn)狀看，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不受重視。相當(dāng)一部分教師在教學(xué)目標(biāo)中只注重知識與技能的達(dá)標(biāo)，根本沒有把數(shù)學(xué)思想方法納入目標(biāo)體系，即使納入也只是在課堂上提提名而已。

再次，從數(shù)學(xué)教材體系看，整個數(shù)學(xué)教材中貫穿兩條主線，一是寫進(jìn)教材的基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，它是明線，一貫很受重視。另一條是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這是條暗線，對學(xué)生的成長十分重要，但往往被忽視。現(xiàn)在教學(xué)中存在重視知識達(dá)標(biāo)評價，輕視數(shù)學(xué)思想形成的評價；重視學(xué)生眼前的分?jǐn)?shù)利益，輕視學(xué)生的長遠(yuǎn)素質(zhì)發(fā)展等問題。一些教師對數(shù)學(xué)思想方法的理解不透徹，造成數(shù)學(xué)思想方法的滲透在課堂教學(xué)中短時期難以見成效。因此，在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)難以規(guī)范有序地展開，教學(xué)實(shí)踐中僅僅關(guān)注雙基的落實(shí)，滿足學(xué)生考試分?jǐn)?shù)的提高，忽略對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的關(guān)注，導(dǎo)致學(xué)生思維發(fā)展的差異，且后續(xù)發(fā)展的差異越來越大，這種差異將直接影響學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和解決其他問題能力的發(fā)展。教材里各個章節(jié)里隱含很多數(shù)學(xué)思想方法，教師作為組織者、引導(dǎo)合作者，必須重視數(shù)學(xué)思想方法在日常教學(xué)中的有機(jī)滲透，只有將無形的數(shù)學(xué)思想方法貫穿到有形的數(shù)學(xué)知識之中，才有利于從整體上把握數(shù)學(xué)教學(xué)目的，將數(shù)學(xué)知識形成的過程、解決問題的過程展示給學(xué)生，將思維的方式方法展現(xiàn)給學(xué)生。

基于上述分析，我們抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與靈魂，以數(shù)學(xué)的精神、思想、方法為突破口，提出“依托新教材培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐研究”這一課題，通過這一課題的研究挖掘數(shù)學(xué)教材中的有機(jī)資源，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和技能的深入理解，提高他們對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟能力，真正提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。

二、課題研究的前提思考

（一）新教材指的是浙江教育出版社出版的7-9年級義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書。

（二）數(shù)學(xué)思想是指人類對數(shù)學(xué)對象及其研究的本質(zhì)和規(guī)律性認(rèn)識。它是在數(shù)學(xué)活動中解決問題的觀點(diǎn)和根本想法，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，并在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)界對數(shù)學(xué)思想方法還有一些觀點(diǎn)上的分歧，包含范圍比較廣泛，但并不影響本課題的研究。本課題的數(shù)學(xué)思想主要定位于通過挖掘教材中的資源滲透符號化、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)學(xué)模型思想這五類常用的數(shù)學(xué)思想。

（三）數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)方法是指人們從事數(shù)學(xué)活動的程序、途徑，是實(shí)施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段，也是數(shù)學(xué)思想的具體化反映。所以說，數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻，更抽象地反映數(shù)學(xué)對象間的內(nèi)在聯(lián)系。由于數(shù)學(xué)是逐層抽象的，數(shù)學(xué)方法在實(shí)際運(yùn)用中往往具有過程性和層次性等特點(diǎn)，層次越低，操作性越強(qiáng)。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數(shù)法等。

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有區(qū)別也有聯(lián)系，首先，兩者都以一定的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)。其次，兩者具有抽象概括程度的不同，表現(xiàn)出互為表里的關(guān)系。數(shù)學(xué)方法受到數(shù)學(xué)思想的指引，是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動中的反映和體現(xiàn)，表現(xiàn)形式外顯；數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的結(jié)晶和升華，表現(xiàn)形式內(nèi)隱。數(shù)學(xué)思想往往帶有理論性的特征，而數(shù)學(xué)方法具有實(shí)踐性的傾向。一般來說，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時稱數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過程時稱數(shù)學(xué)方法。由于人們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究活動中，很難把思想和方法嚴(yán)格區(qū)分開，因此常統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

（四）數(shù)學(xué)思想的主要特征。

1.導(dǎo)向性。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性是指研究數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)思維的策略。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性表現(xiàn)在它既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根源，又是建立數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，還是解決具體問題“向?qū)А?。正如日本學(xué)者米山國藏所說：“數(shù)學(xué)的精神、思想是創(chuàng)造數(shù)學(xué)著作，發(fā)現(xiàn)新的東西，使數(shù)學(xué)得以不斷地向前發(fā)展的根源?！北热鐦O限思想既是微積分理論的基礎(chǔ)，又是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要方法。在解決具體問題中，數(shù)學(xué)思想往往起主導(dǎo)作用，尤其是它對產(chǎn)生一個好“念頭”、一種好“思路”、一種好“猜想”提供方向。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想在指示解題的方向時，還為數(shù)學(xué)方法的具體實(shí)施留有應(yīng)變的余地。

2.統(tǒng)攝性。數(shù)學(xué)思想對于具體的數(shù)學(xué)知識和方法具有巨大的凝聚力，它是聯(lián)系知識的紐帶，具有舉綱張目的作用。數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝性主要表現(xiàn)在兩個方面：一是優(yōu)化數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。雖然數(shù)學(xué)知識數(shù)量的不同是影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個方面，但是，即使有同樣數(shù)量的知識點(diǎn)的學(xué)生，由于知識點(diǎn)之間聯(lián)系結(jié)構(gòu)的差異，也會造成數(shù)學(xué)能力發(fā)展不平衡。二是發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)思想在知識轉(zhuǎn)化為能力的過程中起重要的中介作用。如果說能力是知識的結(jié)晶的話，那么思想往往起著結(jié)晶核的作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)教材中的定義、定理、公式等外顯知識時，若未能了解這些知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，則很難真正理解知識，因而就會出現(xiàn)數(shù)學(xué)知識學(xué)了不少，但由于缺乏數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)，知識沒有活性，能力卻得不到發(fā)展的現(xiàn)象。另一方面，數(shù)學(xué)思想將分散的知識吸附起來，組成一個整體，并且能像滾雪球那樣越滾越大。

3.概括性。人們的理性認(rèn)識之所以高于感性認(rèn)識，是因?yàn)槔硇哉J(rèn)識能反映、揭示事物的普遍的必然的本質(zhì)屬性和聯(lián)系，這就是理性認(rèn)識的一大特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想在這方面具有突出的表現(xiàn)，即數(shù)學(xué)思想具有較高的概括性。概括性程度的不同決定數(shù)學(xué)思想有層次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性揭示得越深刻，對問題的理解就愈透徹。數(shù)學(xué)思想的概括性還表現(xiàn)在客觀存在，能反映數(shù)學(xué)對象之間的聯(lián)系和內(nèi)部規(guī)律上。

4.遷移性。高度的概括性導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想具有廣泛的遷移性。這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，這是數(shù)學(xué)知識遷移的基礎(chǔ)和根源，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石。這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)外部：能溝通數(shù)學(xué)與其他科學(xué)、與社會的聯(lián)系，產(chǎn)生更廣泛的遷移。

三、依托新教材培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐與研究

數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)、發(fā)展、形成是以數(shù)學(xué)知識為載體，通過問題解決體現(xiàn)的，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要以學(xué)生接受知識的全過程加以滲透，以便逐漸形成。

（一）數(shù)學(xué)思想形成的過程

從認(rèn)識論的角度看，對客觀事物的認(rèn)識，必須經(jīng)歷“具體―抽象―具體”，即從感性的具體到抽象的規(guī)定，再從抽象的規(guī)定上升到思維中具體的過程。

對數(shù)學(xué)的認(rèn)識所形成的“感性的具體”是指掌握某部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容，如具體的概念、定理、公式、法則等?！俺橄蟮囊?guī)定”是指掌握某些數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法。認(rèn)識過程達(dá)到的“思維中的具體”則是指數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

從上圖可以看出數(shù)學(xué)思想形成必須經(jīng)歷掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、明確其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法、建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)這一過程。數(shù)學(xué)思想的形成主要來自于以下渠道：

1.在知識發(fā)生中挖掘數(shù)學(xué)思想方法。

在教學(xué)過程中，要注意知識的形成過程，特別是定理、性質(zhì)、公式的推導(dǎo)過程和例題求解的過程，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法就是在這個過程中形成和發(fā)展的。

（1）在概念、定理的講述中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。

概念是思維的細(xì)胞，是感性認(rèn)識飛躍到理性認(rèn)識的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。因而概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一過程，引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于概念之中的思維內(nèi)核。如“有理數(shù)”一章就是最好的例證，學(xué)生初次接觸負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對值等抽象概念時，往往理解上有困難，如果能有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)軸幫助理解就可以降低理解這些概念的難度。

（2）在規(guī)律、法則的推導(dǎo)運(yùn)用中引進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法。

在定理、性質(zhì)、法則、公式、規(guī)律等的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系，最后引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論。如，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元一次方程的解法時，如果只是讓學(xué)生注意解一元一次方程的步驟，即去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等，而未掌握解一元一次方程的思想――求出一個與原方程同解的且解是明顯的方程，即ax=b（a≠0），那么學(xué)生對這一思想的精髓就不會真正領(lǐng)悟，對解方程的認(rèn)識只能是“知其然，而不知其所以然”。在教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)解決步驟的同時應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)所反映出的“化歸”思想方法，使學(xué)生真正體會解題步驟是“化歸”思想方法指導(dǎo)下的具體外顯，這樣學(xué)生才會舉一反三，建立數(shù)學(xué)模型，加強(qiáng)方法遷移。

2.在思維活動中滲透數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須充分暴露思維過程，讓學(xué)生參與教學(xué)實(shí)踐活動，揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思想，才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。例如八下“多邊形”的教學(xué)可以借三角形、四邊形、五邊形等圖形的分析探求，讓學(xué)生大膽猜想，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方法，滲透類比、歸納、猜想思想，在驗(yàn)證所得結(jié)論中結(jié)合多邊形可化歸三角形處理從而得以證明，從中滲透化歸思想和分類思想。

3.在問題解決過程中揭示數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)問題的探索與解決過程，實(shí)質(zhì)是命題不斷變化和數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過程，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問題的解決的觀念性成果，它存在于數(shù)學(xué)問題解決的過程之中。數(shù)學(xué)問題的探索與解決，都遵循數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)問題的推廣、引申和解決過程既是新的問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，又是數(shù)學(xué)思想方法深化的過程。一些教師往往有這樣的困惑：題目講得不少，但是學(xué)生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍微變化就不知所措，不能形成較強(qiáng)的解決問題的能力，更談不上創(chuàng)新能力的形成。究其原因就是教師在問題解決中就題論題，沒有抓住問題的本質(zhì)，沒有突出數(shù)學(xué)思想方法，“只有劍招，沒有劍魂”。

在解題教學(xué)中，教師首先要善于通過選擇典型例題進(jìn)行解題示范，通過范例展現(xiàn)自己是如何“想”數(shù)學(xué)，如何“做”數(shù)學(xué)的。進(jìn)一步說，就是自己是怎樣審清題意的，是怎樣運(yùn)用探索法誘發(fā)靈感、產(chǎn)生“好念頭”的，是怎樣對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和變更的，是怎樣通過解題進(jìn)行回顧、概括形成方法和模式的，是怎樣運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論的，等等。其次，在解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生善于反思，達(dá)到舉一反三的效果。

4.在知識整理歸納中概括數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)教材是采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想方法融于數(shù)學(xué)知識體系中，適時對數(shù)學(xué)思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學(xué)思想方法要納入教學(xué)計(jì)劃，應(yīng)有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想的概括過程，尤其在章節(jié)結(jié)束或單元復(fù)習(xí)中對知識復(fù)習(xí)的同時，將統(tǒng)攝知識的數(shù)學(xué)思想方法概括出來，可以增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識，也使其對運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學(xué)知識，形成獨(dú)立分析、解決問題的能力。例如，在二元一次方程組的解法中有這樣的敘述：這種解法的思路是，通過“代入”、“加減”，達(dá)到消元（即消去一個未知數(shù)）的目的，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。在教學(xué)實(shí)踐中給足時間，讓學(xué)生自讀，結(jié)合課本題目，專項(xiàng)討論“消元”怎樣進(jìn)行，不僅突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，更重要的是強(qiáng)化內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法。

為此，我們不難發(fā)現(xiàn)，由于同一數(shù)學(xué)知識可表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識點(diǎn)里，因此通過課堂小結(jié)、單元總結(jié)或總復(fù)習(xí)，甚至在某個概念、定理公式、問題教學(xué)都可以在縱橫兩方面歸納概括出數(shù)學(xué)思想方法。

（二）數(shù)學(xué)思想在教材中的體現(xiàn)及實(shí)踐操作

大量的、較高層次的思想方法蘊(yùn)含于表層知識之中，處于潛形態(tài)，教師應(yīng)該將深層知識揭示出來，將這些深層知識由潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)，由對數(shù)學(xué)思想方法的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑睦斫夂驼莆铡?/p>

1.符號化、方程與函數(shù)思想。

符號化思想、方程思想和函數(shù)思想本來是三個不同的思想，它們各有側(cè)重點(diǎn)，符號化偏重于形式化、結(jié)構(gòu)化。方程思想相對于算術(shù)法，偏重于關(guān)注問題中的等量關(guān)系、構(gòu)造方程，由解方程而達(dá)到問題解決。函數(shù)思想則偏重于事物的運(yùn)動變化，尋求變量之間的對應(yīng)關(guān)系。但是，一方面由于數(shù)學(xué)知識量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中完成，另一方面這三種思想存在有機(jī)聯(lián)系，符號化是方程思想實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)，而方程又可以看做是函數(shù)的特殊情況，方程方法是研究函數(shù)的有力工具。

（1）符號化思想。符號既可以表示數(shù)，又可以表示量；既可以表示未知數(shù)，又可以表示已知數(shù)；既可以表示常量，又可以表示變量，還可以用符號表示運(yùn)算、表示關(guān)系、表示語句、表示圖形。如七年級上冊4.1《用字母表示數(shù)》用節(jié)前語中的兒歌青蛙跳水動畫場面，寓教于樂地引出用字母表示數(shù)的思想，認(rèn)識到字母表示數(shù)具有問題的一般性，就便于問題的研究和解決，由此就可產(chǎn)生從算術(shù)到代數(shù)的認(rèn)識飛躍。學(xué)生領(lǐng)會用字母表示數(shù)的思想就可順利地進(jìn)行以下內(nèi)容的教學(xué)：①用字母表示問題（代數(shù)式模仿、列代數(shù)式）；②用字母表示規(guī)律（運(yùn)算定理、計(jì)算公式、認(rèn)識數(shù)式通性的思想）；③用字母表示數(shù)解題（適應(yīng)字母式問題能力）。

（2）方程思想。在解決數(shù)學(xué)問題時，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問題的思想稱為方程思想。

如（“7.3線段的長短比較”例3）如圖1，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C，D把線段AB三等分，已知線段CP的長為1.5cm，求線段AB的長。在講解完書上的解法之后，引導(dǎo)學(xué)生分析：能否用方程的思想解決呢？這一問不僅引起學(xué)生的好奇，而且激活學(xué)生的思維，多種解決問題方法的產(chǎn)生也就不足為奇了。

如果設(shè)∠AOC的度數(shù)為x度，那么∠COB的度數(shù)就等于（x+30）度，再根據(jù)∠AOC與∠COB是互為鄰補(bǔ)角，就得到下面的方程。

x+（x+30）=180，解得x=75.即∠AOC=75°，∠COB=105°，∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°+37.5°=142.5°.

教材中能用方程思想解決的問題有很多，如“7.6余角和補(bǔ)角”一節(jié)中的例2：已知一個角的補(bǔ)角是這個角的余角的4倍，求這個角的度數(shù)。本章復(fù)習(xí)題的第5、10、11、15題等。在教學(xué)中，適時適度地引導(dǎo)學(xué)生用方程的思想思考問題，不僅有利于學(xué)生建立模型思想，而且能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

③函數(shù)思想。世界上一切事物都處在運(yùn)動、變化和發(fā)展的過程中，我們在教學(xué)中必須重視函數(shù)思想方法的教學(xué)。函數(shù)思想是一種考慮對應(yīng)、考慮運(yùn)動變化、相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻畫另一種狀態(tài)，由研究狀態(tài)過渡到研究變化過程的思想方法。函數(shù)思想的本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對應(yīng)關(guān)系。要有意識、有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)函數(shù)思想方法，讓學(xué)生逐漸形成以運(yùn)動的觀點(diǎn)觀察事物，并借助函數(shù)關(guān)系思考解決問題。

如八（上）一次函數(shù)的簡單應(yīng)用例2：小聰和小慧去某風(fēng)景區(qū)游覽，約好在“飛瀑”見面，上午7：00小聰乘電動汽車從“古剎”出發(fā)，沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車速為36km/h，小慧也于上午7：00從“塔林”出發(fā)，騎電動自行車沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車速為26km/h。

（1）當(dāng)小聰追上小慧時，他們是否已經(jīng)過了“草甸”？

（2）當(dāng)小聰?shù)竭_(dá)“飛瀑”時，小慧離“飛瀑”還有多少km？

第一個問題對于大部分學(xué)生來說，還是有一定的“恐懼感”。我們不妨讓每個同學(xué)都先獨(dú)立思考，至少想到一種方法，然后小組交流。通過合作學(xué)習(xí)后展示討論結(jié)果時，有以下幾種思考方法。

法一：把這個問題看成是純粹的應(yīng)用題，則是一個同時不同地出發(fā)的追及問題，只要算出什么時候什么地方追上就能判斷小聰追上小慧時，他們是否已經(jīng)過了“草甸”；有兩種不同解題思路，一種是用算術(shù)的方法，另一種是用列方程解決。

法二：因?yàn)樾÷敽托』鬯叩穆烦膛c時間是呈正比例關(guān)系的兩個變量，所以可用函數(shù)知識解決這個問題，追上的時間與地點(diǎn)就是兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)，而這里兩個變量的設(shè)法也有多種，真可謂思維異彩紛呈。

對于第二個問題，我們完全拋給學(xué)生，讓他們合作討論完成。

第一小組：生1：用算術(shù)的方法求解；

生3和生4都是用方程的方法。

第二小組：生5、生6都是用方程的方法。

生8不會解答，但在其他同學(xué)的幫助下懂得了如何列方程進(jìn)行解答。

該生介紹這種方法后，得到了大家的一致認(rèn)同，最后教師作出延伸，從上述幾種方法的解答中我們發(fā)現(xiàn)：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（1，36），就是二元一次方程組s=36ts=26t+10的解?？梢?，用圖像法也能求方程組的解（近似解）。

2.數(shù)形結(jié)合思想。

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語）。數(shù)學(xué)中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。為了培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，在七年級數(shù)學(xué)中就可以有意識地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

如在《有理數(shù)》一章中，數(shù)軸就是把數(shù)和形結(jié)合在一起的內(nèi)容。這樣在討論相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的幾何意義時，數(shù)和形結(jié)合得合理將為學(xué)習(xí)降低難度。

（1）利用圖像，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)情境。七年級教材通過溫度計(jì)引出數(shù)軸概念，能夠具體、直觀地掌握負(fù)數(shù)的意義。利用數(shù)軸把點(diǎn)與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系揭示出來，這樣數(shù)量關(guān)系常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述。

（2）相反數(shù)。在數(shù)軸上，相反數(shù)就是在原點(diǎn)兩旁到原點(diǎn)距離相等的兩個點(diǎn)所表示的數(shù)。零的相反數(shù)是它本身即原點(diǎn)。如圖：

（3）絕對值。在數(shù)軸上，一個數(shù)的絕對值表示這個數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。在下圖中，A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比B點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大，所以A點(diǎn)表示的數(shù)的絕對值比B點(diǎn)表示的數(shù)的絕對值大。

（4）倒數(shù)。在數(shù)軸上表示a與1的位置關(guān)系。可以結(jié)合數(shù)軸加以分析，把0、+1、-1作為分界點(diǎn)，然后再進(jìn)行討論。

觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的特征。例如，利用數(shù)軸可以比較兩個有理數(shù)大小，學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個負(fù)數(shù)比較大小時，常常不過了符號關(guān)，利用數(shù)軸學(xué)生可以準(zhǔn)確、快速地確定結(jié)論。相反數(shù)概念的引入、理解，都依賴“數(shù)軸”，特別是教材第一次出現(xiàn)字母表示數(shù)：數(shù)的相反數(shù)是時，學(xué)生會出現(xiàn)思維難點(diǎn)，利用數(shù)軸可以幫助學(xué)生理解：可以是正數(shù)、0、負(fù)數(shù)。

在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡單原則。當(dāng)然在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想時，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下幾點(diǎn)：

（1）善于觀察圖形，揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

（2）正確繪制圖形，反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

（3）切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性，以性識圖。

教師可以通過各種形式有意識地使學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)形結(jié)合方法具有形象、直觀、易于說明等優(yōu)點(diǎn)，并初步學(xué)會用數(shù)形結(jié)合觀點(diǎn)分析問題、解決問題。

3.分類討論思想。

分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識，使所學(xué)知識條理化。我們可啟發(fā)學(xué)生按不同的情況對同一對象進(jìn)行分類，如實(shí)數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等，幫助他們掌握好分類的方法原則形成分類的思想。當(dāng)數(shù)量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時，常?？梢赃\(yùn)用分類討論的思想分析解決。如對七年級有理數(shù)的加法教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、探究，將有理數(shù)的加法分為三類進(jìn)行研究，正確歸納出有理數(shù)加法法則，這樣學(xué)生不僅掌握具體的“法則”，而且對“分類”有深刻的認(rèn)識，能在較復(fù)雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地進(jìn)行分類，從而使看問題更加全面。

在進(jìn)行分類討論時，必須遵循以下原則：

（1）分類原則――不重復(fù)、不遺漏。由于學(xué)生在思考問題時有時帶有片面性或缺乏條理性，因此在解決問題過程中，往往違背這個原則。實(shí)際上，在教材中定理證明、例題、習(xí)題中都采用分類思想，只要同學(xué)們認(rèn)真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結(jié)，在分類時就會做到不重、不漏。

（2）對復(fù)雜問題采用多級分類。對一個復(fù)雜的問題有時進(jìn)行一級分類，很難將問題討論清楚，這時需要對其中一類或幾類再進(jìn)行分類，即多級分類。多級分類是一個難點(diǎn)，應(yīng)注意：①每一級分類一定要把握好分類標(biāo)準(zhǔn)。②每一級里，要始終如一地按一個標(biāo)準(zhǔn)討論，同時每一級都要以“不重不漏”為原則。教材中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過程中要有意識地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸體會分類討論的思想。

如（“7.2線段、射線和直線”課內(nèi)練習(xí)的第2題），請寫出圖3中以O(shè)為端點(diǎn)的各條射線。

這是一個封閉性的題目，條件明確，結(jié)論唯一。如果在教學(xué)中，我們在學(xué)生練習(xí)完之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，把這個問題中的條件“以O(shè)為端點(diǎn)”去掉，那么圖中又有多少條射線呢？這就是一個以射線端點(diǎn)為分類標(biāo)準(zhǔn)的一個分類問題。該問題雖小，但它讓學(xué)生看到了分類思想解決問題的巨大作用。如果再把這個圖形進(jìn)行變式，點(diǎn)A為直線BC上的一點(diǎn)，那么在圖4中有幾條射線呢？

進(jìn)一步，如果直線BC上有3個點(diǎn)，4個點(diǎn)，乃至n個點(diǎn)，那么圖4中又有多少條射線呢？至此，學(xué)生自己已經(jīng)不難解決這個問題了。

再如（“7.5角的大小比較”例2），如圖5，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度數(shù)。

這是一道幾何計(jì)算題，它包含簡單的推理過程，怎樣有條理地表述解題過程，這是幾何入門教學(xué)過程中學(xué)生遇到的又一個難點(diǎn)。就本題來說，為使學(xué)生能表述清楚語句之間的邏輯關(guān)系，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的圖形，找出圖5中與解題有關(guān)的角，分清哪些是已知度數(shù)的角，哪個是所求的角；其次根據(jù)已知條件和圖形，分析角與角的數(shù)量關(guān)系。然而，這樣的能力培養(yǎng)在學(xué)習(xí)的初始階段是需要模仿的，那么怎樣選擇問題呢？我們不妨對例2做簡單的變式，把題中的“如圖”兩字刪去，這時由于圖形位置的不確定性，需要對問題進(jìn)行分類討論，學(xué)生對問題既有新鮮感，又可以模仿例題的格式學(xué)習(xí)，正可謂一舉兩得。

4.化歸與轉(zhuǎn)化思想。

所謂“化歸”，從字面上看可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)中把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種手段和方法?；瘹w方法用框圖可直觀表示為：

其中，問題B常被稱作化歸目標(biāo)或方向，轉(zhuǎn)化的手段被稱為化歸途徑或化歸策略?；瘹w包括三個要素，即化歸對象、化歸目標(biāo)和化歸策略?；瘹w的方向是：由未知到已知，由復(fù)雜到簡單，由困難到容易。

在數(shù)學(xué)教材中無處不滲透化歸思想，我們時常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數(shù)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，把幾何問題化為代數(shù)問題，化無理為有理等。從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：

（1）新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)教材中，有許多新知識的獲得或新問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知知識或已解決的問題完成的，也就是將新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例分析這種化歸的方向。

①消元降次化歸，實(shí)現(xiàn)新知識向已知知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。

I.降次化歸解一元方程

解一元二次方程時有以下四種解法：

b.如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊為非負(fù)的常數(shù)，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。

c.如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個一次因式之積，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。

d.如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。

從以上分析不難看出：將“一元二次”這個新知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“一元一次”這個已知知識點(diǎn)之際，也就是順利求解一元二次方程之時。因此，應(yīng)用化歸思想降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。

II.消元化歸解方程組

解二元一次方程組，其方法是通過加減消元或是代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即完成從新知識點(diǎn)到已知知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，從而得到求解。三元一次方程組，通過消元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問題得解。

②分式方程整式化，實(shí)現(xiàn)新知識向已知知識塊的轉(zhuǎn)化。

新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級（下），后者雖然在教材中沒有安排，但是在中考復(fù)習(xí)中也會頻頻出現(xiàn)，可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識模式是解分式方程的思路。這里需要注意的是在分式方程整式化變形過程中，有可能不是恒等變形，可能產(chǎn)生增根，所以分式方程必須驗(yàn)根。

縱觀整個教材，除解方程問題外，還有許多知識的轉(zhuǎn)化都屬于新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊的轉(zhuǎn)化，如：異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法；多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和解決；梯形的中位線問題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線解決等，無不滲透化歸思想。

（2）一般情況向特殊情況的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問題中除上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問題解決，這也是解決新問題獲得新知識的一種重要的化歸方向。

如九年級上冊圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

分析：圓周角∠BAC與圓心O的位置關(guān)系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖二）；（2）圓心O在∠BAC的內(nèi)部（如圖三）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖四）。

圖二 圖三 圖四

在第一種位置關(guān)系中，圓心角∠BOC恰為AOC的外角，這時很容易得到結(jié)論；在第二、三兩種位置關(guān)系中，我們均可作出過點(diǎn)A的直徑，將問題轉(zhuǎn)化為第一種情況，同樣可以證得結(jié)論。上述問題的解決都是先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問題解決，同時此定理的證明也滲透合理的分類數(shù)學(xué)思想。

5.數(shù)學(xué)模型思想。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為：數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)所揭示的是人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。各種數(shù)學(xué)概念和各種數(shù)學(xué)命題都具有超越特殊對象的普遍意義，它們都是一種模式。如果把數(shù)學(xué)理解為由概念、命題、問題和方法等組合成的復(fù)合體，那么掌握模式的思想就有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)模型就是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，大致可用如下框圖說明：

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境―建立模型―解釋、應(yīng)用、拓展”的過程，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過實(shí)踐活動，自己研究、探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，從而體會方程、不等式、函數(shù)等是現(xiàn)實(shí)世界的模型，初步領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

如“用不等式知識解決實(shí)際問題”的教學(xué)就可使用課后一道習(xí)題引入：

師：不等式（組）是反映現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量不等關(guān)系的一個有效的數(shù)學(xué)模型，許多現(xiàn)實(shí)問題可用不等式（組）知識來解決。

問題：某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，共有20道題，評分辦法是：對于每一道題，答對給10分，答錯或不答扣5分。如果某學(xué)生總得分不少于80分，那么這個學(xué)生至少要答對多少道題？

師：這個問題含有那些要素？

生1：閱讀后略加思考答：①答對題數(shù)，②答錯或不答題數(shù)，③試題數(shù)，④總得分?jǐn)?shù)。其中，已知量：試題數(shù)=20、答對一題給10分，某題答錯或不答扣5分、某學(xué)生總得分不少于80分，未知量：這個學(xué)生至少要答對多少道題？

師：要素之間的數(shù)量關(guān)系如何？

生2：略加思考答：①答對題數(shù)+答錯或不答題數(shù)=20；②答對題數(shù)×10+答錯或不答題數(shù)×（-5）≥80；③答對題數(shù)×10≤200；④答錯或不答題數(shù)×（-5）≥-100。

師：非常好！這是問題解決過程中的重要一環(huán)――分析。對于復(fù)雜的問題，將自然語言轉(zhuǎn)化為圖表語言能使數(shù)量關(guān)系更清晰。

師：怎樣用符號表示這些關(guān)系？

生3：設(shè)答對題數(shù)為x，則10x-5（20-x）≥80

生4：設(shè)答對題數(shù)為x，答錯或不答題數(shù)為y，則x+y=2010x-5y≥80

生5：設(shè)答錯或不答題數(shù)至多為x，則15x≤200-80

生6：設(shè)答對題數(shù)為x，則-100+15x≥80

師：多角度思考問題是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣！這是問題解決的第二個環(huán)節(jié)――建模。同一個問題的數(shù)學(xué)模型可能具有多樣性！

師：怎樣解決這個數(shù)學(xué)問題？

生7：……

師：這是問題解決的第三個環(huán)節(jié)――解模。

師：這個數(shù)學(xué)問題的解是不是實(shí)際問題的解？

生8：……

師：這是問題解決的第四個環(huán)節(jié)――還原。

師：上述四個數(shù)學(xué)模型那個更有價值？為什么？

生9：……

師：這個問題還有其他解法嗎？

生10：相互研討后答：逐步逼近法（教師有改動）：答對10題、11題、12題……進(jìn)行試探，逐步逼近）。

師：這是一種解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，尤其用于解數(shù)學(xué)競賽題。

師：上述問題改答對一題給10分，答錯一題扣5分，不答不給分也不扣分呢？

眾生：對不答題數(shù)進(jìn)行分類討論。

師：思路正確！請你將其具體化，試試看。

師：這是問題解決的第五個環(huán)節(jié)――反思。

師：現(xiàn)在我們再回顧一下上述問題解決的全過程，繼續(xù)思考并回答下列問題：

（1）分析有哪些具體方法？（如自然語言轉(zhuǎn)化為圖表語言等）

（2）建模的實(shí)質(zhì)是什么？（實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題――符號語言）

（3）解模的本質(zhì)是什么？（邏輯推理）

（4）還原的理由是什么？（實(shí)際問題的解應(yīng)該具有實(shí)際意義）

（5）反思的視角與視點(diǎn)是什么？（模型是否具有多樣性、解法是否具有多樣性、問題是否具有一般性、知識與方法是否具有內(nèi)在聯(lián)系性等）

學(xué)生回答，教師點(diǎn)評并作出概括。

師：請你預(yù)測一下“問題解決”的過程與方法，對今后學(xué)習(xí)是否具有指導(dǎo)作用？過去用過這種思想方法嗎？

眾生：……

師：不等式10x-5（20-x）≥80是否具有實(shí)際意義？請你結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際，提出盡可能多的問題？

生：……

師：在這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，你有哪些收獲與感受？請大家提出自己的觀點(diǎn)，毫無保留地交流自己的學(xué)習(xí)成果與思想。

四、結(jié)語

隨著新課改的進(jìn)一步深化，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生變化，由接受性學(xué)習(xí)變?yōu)檠芯啃詫W(xué)習(xí)；學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)移，從培養(yǎng)學(xué)生“分析與解決問題的能力”轉(zhuǎn)移到“發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力”；教育評價從重結(jié)果的終結(jié)性評價轉(zhuǎn)到達(dá)到結(jié)果的過程性評價。那么數(shù)學(xué)教育教給學(xué)生，毫無疑問是以數(shù)學(xué)知識為載體，以訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法為手段，開發(fā)學(xué)生潛能，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會生活。僅僅將數(shù)學(xué)作為一種工具，不能科學(xué)評價數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會中的地位和價值。

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