時(shí)間：2023-07-02 09:37:19
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關(guān)鍵詞：軌道交通；發(fā)展現(xiàn)狀；鋁合金；需求；研究
中圖分類號(hào)：P135 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：
軌道交通的發(fā)展是一個(gè)國(guó)家或地區(qū)城市化水平高低的重要體現(xiàn)，與其它的交通運(yùn)輸方式相比，軌道交通具有非常明顯的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，因此能在實(shí)際中取得較為廣泛的應(yīng)用。軌道交通的發(fā)展不可避免地會(huì)增加對(duì)鋁合金的需求量。加強(qiáng)對(duì)軌道交通發(fā)展現(xiàn)狀以及其對(duì)鋁合金需求的研究可以為軌道交通今后的發(fā)展提供可靠的依據(jù)與參考。不過(guò)，在對(duì)國(guó)內(nèi)軌道交通的發(fā)展對(duì)策以及軌道交通對(duì)鋁合金的需求這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析之前，我們先來(lái)了解一下國(guó)內(nèi)軌道交通的發(fā)展現(xiàn)狀。
1.國(guó)內(nèi)軌道交通的發(fā)展現(xiàn)狀
經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，我國(guó)的軌道交通已經(jīng)取得了非常明顯的發(fā)展與進(jìn)步，但是與外國(guó)同時(shí)期的軌道發(fā)展?fàn)顩r相比，仍然存在著很多的問(wèn)題，需要引起我們的高度關(guān)注與重視。歸結(jié)起來(lái)，比較常出現(xiàn)的軌道交通發(fā)展問(wèn)題主要有融資渠道問(wèn)題、線網(wǎng)規(guī)劃問(wèn)題以及票制票價(jià)問(wèn)題等幾個(gè)方面。首先，融資渠道問(wèn)題。從目前的實(shí)際情況來(lái)看，我國(guó)的軌道交通建設(shè)主要依據(jù)的還是政府投資以及以政府信譽(yù)為擔(dān)保的借貸。對(duì)于一些地方政府來(lái)說(shuō)，這種融資方式極易給政府部門帶來(lái)極大的財(cái)政負(fù)擔(dān)，而且這種融資方式非常不穩(wěn)定，容易出現(xiàn)資金不足、運(yùn)行虧損以及融資困難等問(wèn)題；其次，線網(wǎng)規(guī)劃問(wèn)題。軌道交通在進(jìn)行規(guī)劃時(shí)，由于其范圍可能存在的不一致，極易引發(fā)主城區(qū)通道協(xié)調(diào)困難的現(xiàn)象，這又會(huì)在不同程度上造成線網(wǎng)規(guī)劃的不清晰與較差的可操作性，加大工程建設(shè)的資金投入；最后，票制票價(jià)問(wèn)題。目前，我國(guó)軌道交通在發(fā)展過(guò)程中對(duì)票價(jià)杠桿的作用不加重視，還沒有形成較為統(tǒng)一的票制票價(jià)制定策略，這給軌道交通的正常發(fā)展造成了一定程度的困擾。除此之外，軌道交通的票價(jià)結(jié)構(gòu)沒有體現(xiàn)長(zhǎng)距離出行的政策，無(wú)法有效增強(qiáng)吸引客流的能力。
2.國(guó)內(nèi)軌道交通的發(fā)展對(duì)策
鑒于軌道交通在城市發(fā)展過(guò)程中的重要作用，我們需要采取一些及時(shí)有效的措施，以更好的縮小與國(guó)外軌道交通發(fā)展水平之間的差距。歸結(jié)起來(lái)，這些發(fā)展的對(duì)策主要有實(shí)施“打出去，走進(jìn)來(lái)”的策略、對(duì)現(xiàn)有資源進(jìn)行有效整合以及加強(qiáng)自主創(chuàng)新與集成創(chuàng)新等幾個(gè)方面。首先，實(shí)施“打出去，走進(jìn)來(lái)”的策略。進(jìn)入21世紀(jì)，有不少的發(fā)展中國(guó)家都面臨著巨大的軌道交通發(fā)展商機(jī)，對(duì)于我國(guó)這樣一個(gè)發(fā)展水平較低、起步較晚的國(guó)家來(lái)說(shuō)，必須抓住這樣一個(gè)機(jī)遇，積極堅(jiān)持和推進(jìn)“打出去，走進(jìn)來(lái)”的策略，在注重吸收外國(guó)先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，還必須努力參與市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，在競(jìng)爭(zhēng)中求生存與發(fā)展，逐步縮小與這些發(fā)達(dá)國(guó)家之間的差距；其次，對(duì)現(xiàn)有資源進(jìn)行有效整合。目前，我國(guó)的軌道交通由于受到各種各樣因素的影響與制約，發(fā)展水平還很低，現(xiàn)有的資源非常有限，所以要想取得較好的發(fā)展就必須首先采取多種措施，對(duì)現(xiàn)有的資源進(jìn)行綜合有效的利用，以充分發(fā)揮其應(yīng)有的作用與價(jià)值；最后，加強(qiáng)自主創(chuàng)新與集成創(chuàng)新。當(dāng)今社會(huì)，一個(gè)沒有創(chuàng)新能力的企業(yè)、項(xiàng)目或者是人，是無(wú)法獲得生存與發(fā)展的機(jī)會(huì)的，所以，為了更好的推動(dòng)我國(guó)軌道交通的發(fā)展，并實(shí)現(xiàn)與世界水平的接軌，就必須首先增強(qiáng)自身的自主創(chuàng)新與集成創(chuàng)新能力，只有這樣，才能在發(fā)展軌道交通的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)本地區(qū)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的快速發(fā)展。
3.軌道交通對(duì)鋁合金的需求
軌道交通的發(fā)展必定會(huì)對(duì)鋁合金的需求量不斷加大，這是毋庸置疑的。那么，從微觀角度來(lái)看，國(guó)內(nèi)軌道交通的發(fā)展對(duì)鋁合金的需求狀況是什么樣的，我們應(yīng)該如何對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確科學(xué)的分析與研究呢？事實(shí)上，軌道交通對(duì)鋁合金材料的需求是有一個(gè)不斷變化的過(guò)程的，為了理解與闡述的方便，我們可以軌道交通對(duì)鋁合金材料的需求分為以下三個(gè)階段：其一，需求量緩慢增長(zhǎng)的階段。這一階段的軌道交通發(fā)展較為緩慢，究其原因則在于國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)實(shí)力有限，對(duì)軌道交通建設(shè)的內(nèi)在要求也非常缺乏，因此在此情形之下，一般只有少量經(jīng)濟(jì)實(shí)力較為雄厚的城市才有建設(shè)軌道交通的需求，這也就決定了鋁合金材料的需求量不大，其價(jià)格也不發(fā)生太大的變化；其二，需求快速增長(zhǎng)階段。隨著國(guó)內(nèi)各個(gè)城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，道路擁堵問(wèn)題日益突出，成為制約城市發(fā)展的重要因素，多數(shù)城市普遍表現(xiàn)出對(duì)大運(yùn)量、高速度交通運(yùn)輸方式的渴求。從這個(gè)角度來(lái)看，軌道交通能夠取得如此巨大的發(fā)展也就不足為奇了。這一階段是軌道交通發(fā)展較為關(guān)鍵的時(shí)期，同時(shí)也是對(duì)鋁合金等材料的需求較大的時(shí)期。這一階段與第一階段相比，無(wú)論是對(duì)鋁合金的需求還是其價(jià)格都呈現(xiàn)出非常不穩(wěn)定的狀態(tài)，比如要依靠大量的進(jìn)口來(lái)滿足不斷增加的市場(chǎng)需求，而且這種需求的增加會(huì)不可避免地推動(dòng)國(guó)際市場(chǎng)上鋁合金價(jià)格的上漲等；其三，需求基本穩(wěn)定階段。經(jīng)過(guò)了第二個(gè)階段的需求增加、價(jià)格上漲之后，接下來(lái)的階段將會(huì)不斷趨于穩(wěn)定，這是因?yàn)檐壍澜煌ㄔ诤笃诘慕ㄔO(shè)將會(huì)逐漸停滯，而且其使用年限較為固定，不需要對(duì)其進(jìn)行更新，所以在這一階段無(wú)論是需求還是價(jià)格都與第一階段的狀況不斷接近。鑒于這些特點(diǎn)，我們?cè)趯?shí)際進(jìn)行操作的過(guò)程中，可以在充分把握這些特點(diǎn)的基礎(chǔ)上盡量降低鋁合金材料的購(gòu)買支出費(fèi)用，同時(shí)更好的維護(hù)鋁合金市場(chǎng)的穩(wěn)定。
4.結(jié)語(yǔ)
軌道交通是伴隨著我國(guó)城市化進(jìn)程的不斷推進(jìn)而產(chǎn)生和出現(xiàn)的，因其所具有的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)而取得了非常迅速的發(fā)展。但從整體上來(lái)看，我國(guó)軌道交通的發(fā)展與外國(guó)仍然存在著較大的差距，現(xiàn)狀依舊不容樂(lè)觀。軌道交通的發(fā)展必然會(huì)對(duì)鋁合金的需求不斷增加，因此，我們有必要對(duì)軌道交通的發(fā)展現(xiàn)狀以及其對(duì)鋁合金的需求問(wèn)題進(jìn)行一番分析與研究。本文從國(guó)內(nèi)軌道交通的發(fā)展現(xiàn)狀、國(guó)內(nèi)軌道交通的發(fā)展對(duì)策以及軌道交通對(duì)鋁合金的需求等幾個(gè)方面進(jìn)行了分析與闡述，希望可以為以后的相關(guān)研究與實(shí)踐提供某些有價(jià)值的參考與借鑒。在具體進(jìn)行闡述的過(guò)程中，可能由于各種各樣的原因，還存在著這樣那樣的問(wèn)題，在以后的研究與實(shí)踐中要加以規(guī)避。
參考文獻(xiàn)：
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[3]歐陽(yáng)潔，鐘振遠(yuǎn)，羅競(jìng)哲.城市軌道交通發(fā)展現(xiàn)狀與趨勢(shì)[J].中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品,2008,12（25）：67-68.
例1：觀察下圖，解答問(wèn)題.
（1）上圖畫出了三到六邊形的對(duì)角線，觀察后將下表填寫完整.
（2）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440°，求這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù).
分析與解:
解法1：（1）易知，六邊形的對(duì)角線條數(shù)為9.通過(guò)作圖也易知七邊形的對(duì)角線條數(shù)為14，那么n邊形呢？
現(xiàn)將多邊形邊數(shù)與對(duì)角線條數(shù)提取進(jìn)行分析：
邊數(shù) 對(duì)角線條數(shù)分析及梯形面積公式法表達(dá)式
觀察上表發(fā)現(xiàn)，將相鄰對(duì)角線條數(shù)兩數(shù)作差，再對(duì)作差后的相鄰新數(shù)作差，它們的結(jié)果都為常數(shù)1.當(dāng)設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，對(duì)角線條數(shù)寫成和的形式時(shí)，第一個(gè)數(shù)是2，最后一個(gè)數(shù)是1×n-2，共有（n-3）項(xiàng)，用梯形面積公式法求得n邊形對(duì)角線條數(shù)為：
×（n-3）=（n-3）
（2）由n邊形內(nèi)角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.
這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)為：×（8-3）=20（條）.
解法2：（只對(duì)n邊形的對(duì)角線條數(shù)進(jìn)行探究）
現(xiàn)先對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.對(duì)于二次函數(shù)y=x+2x+2，有下表成立：
對(duì)y相鄰的數(shù)求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…
對(duì)相鄰新數(shù)再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…
發(fā)現(xiàn)的值連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)，再對(duì)其他的二次函數(shù)研究也有這樣的結(jié)論，因此可以得出二次函數(shù)存在這樣一個(gè)性質(zhì)：二次函數(shù)的函數(shù)值連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果一數(shù)列存在著：連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)，它的序數(shù)與所對(duì)應(yīng)的數(shù)的表達(dá)式滿足某個(gè)二次函數(shù).利用這個(gè)性質(zhì)，求本例n邊形的對(duì)角線條數(shù)：
由解法1中的（1）可知，對(duì)角線條數(shù)相鄰兩數(shù)作差，再對(duì)作差后的新數(shù)作差，它們的結(jié)果都為同一常數(shù)，所以多邊形邊數(shù)及所對(duì)應(yīng)的對(duì)角線條數(shù)滿足某個(gè)二次函數(shù).設(shè)這個(gè)二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對(duì)多邊形邊數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的對(duì)角線條數(shù)y取出三對(duì)數(shù)：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.
所以多邊形邊數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的對(duì)角線條數(shù)y滿足二次函數(shù):y=x-x，
當(dāng)x=n時(shí)，有y=n-n=n（n-3），
七邊形對(duì)角線條數(shù)為：×（7-3）=14（條）.
例2：瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)，，，，…中得到巴爾末公式，從而打開了光譜的奧妙大門，請(qǐng)你按這個(gè)規(guī)律寫出第七個(gè)數(shù)據(jù)是?搖 ?搖.
分析與解:
解法1：分子中第1個(gè)數(shù):9=3；第2個(gè)數(shù):16=4；第3個(gè)數(shù):25=5；第4個(gè)數(shù):36=6，
第n個(gè)數(shù)分子應(yīng)該是（n+2）.
分母中：序數(shù) 分母對(duì)應(yīng)數(shù)分析及梯形面積公式法表達(dá)式
分母中的數(shù)兩次連續(xù)作差后為同一常數(shù)2，進(jìn)一步分析可知，當(dāng)設(shè)序數(shù)為n，分母對(duì)應(yīng)的數(shù)寫成和的形式時(shí)，第一個(gè)數(shù)是5，最后一個(gè)數(shù)是2×n+3，共有n項(xiàng)，用梯形面積公式法求得第n個(gè)數(shù)分母為：
×n=n（n+4）
第n個(gè)數(shù)為：
當(dāng)n=7時(shí)，所對(duì)應(yīng)的數(shù)是=.
解法2：（只對(duì)分母存在的規(guī)律進(jìn)行探究）
由解法1知，分母中的數(shù)兩次連續(xù)作差后為同一常數(shù)，所以分母中的序數(shù)及所對(duì)應(yīng)的值滿足某個(gè)二次函數(shù).設(shè)此二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對(duì)分母中的序數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的值y取出三對(duì)數(shù)：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.
所以分母中的序數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的值y滿足二次函數(shù):y=x+4x，
第七個(gè)數(shù)的分母為：y=x+4x=7+4×7=77.
由例1和例2的解法2可知，當(dāng)一數(shù)列連續(xù)兩次作差后為同一常數(shù)，數(shù)列序數(shù)與對(duì)應(yīng)的數(shù)滿足某個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，利用待定系數(shù)法，解出來(lái)的二次函數(shù)常數(shù)項(xiàng)都為0，是不是所有滿足這種情況的二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)都為0呢？請(qǐng)看例3.
例3:（2009牡丹江市）有一列數(shù)：-，，-，，…那么第7個(gè)數(shù)是?搖 ?搖.
分析與解:
解法1：易知，數(shù)列符號(hào)，單序數(shù)為負(fù)，雙序數(shù)為正，分子按序數(shù)排列，關(guān)鍵的就是找分母的表達(dá)式.現(xiàn)將分母序數(shù)及所對(duì)應(yīng)的數(shù)提取進(jìn)行分析：
序數(shù) 分母對(duì)應(yīng)數(shù)分析及梯形面積公式法表達(dá)式
分析發(fā)現(xiàn)，分母所對(duì)應(yīng)的數(shù)兩次連續(xù)作差后，為同常數(shù)2.可以預(yù)測(cè)，除符號(hào)和2外，第n個(gè)數(shù)，當(dāng)寫成和的形式時(shí)，第一個(gè)數(shù)是3，最后一個(gè)數(shù)是2×n-1，共有（n-1）項(xiàng).
第n個(gè)數(shù)除符號(hào)外，分母為:2+×（n-1）=n+1
第n個(gè)數(shù)為:（-1）
第7個(gè)數(shù)為:（-1）=-.
解法2：（只對(duì)分母存在的規(guī)律進(jìn)行研究）
由解法1知，分母所對(duì)應(yīng)的數(shù)連續(xù)兩次作差后，為一同常數(shù)2，所以分母中的序數(shù)及所對(duì)應(yīng)的值滿足某個(gè)二次函數(shù).設(shè)這個(gè)二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對(duì)分母中的序數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的值y取出三對(duì)數(shù)：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.
所以分母中的序數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的值y滿足二次函數(shù):y=x+1，
第七個(gè)數(shù)的分母為：y=x+1=7+1=50.
由上三例可知，如果一數(shù)列存在著：連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)，它的序數(shù)與所對(duì)應(yīng)的數(shù)的表達(dá)式滿足某個(gè)二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法，解出來(lái)的二次函數(shù)常數(shù)項(xiàng)不一定為0.
例4:如圖，ABC中邊BC上有n個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都與A連接，共有多少個(gè)三角形？
分析與解：用列舉法進(jìn)行探究.在BC上：有3個(gè)點(diǎn)（即B、D、C）時(shí)，有ABD、ABC、ADC共3個(gè)三角形；
有4個(gè)點(diǎn)（即B、D、E、C）時(shí)，有ABD、ABE、ABC、ADE、ADC、AEC共6個(gè)三角形；
有5個(gè)點(diǎn)（即B、D、E、F、C）時(shí)，有ABD、ABE、ABF、ABC、ADE、ADF、ADC、AEF、AEC、AFC共10個(gè)三角形；
例4題圖
按同樣方法列舉，可知，當(dāng)BC上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有15個(gè)三角形.
進(jìn)一步分析還發(fā)現(xiàn)，這些三角形個(gè)數(shù)兩次連續(xù)作差后，為同常數(shù)1.
即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…
再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…
利用本文的二次函數(shù)一性質(zhì)進(jìn)行求解，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對(duì)BC上的點(diǎn)數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的三角形個(gè)數(shù)y取出三對(duì)數(shù)：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.
所以分母中的序數(shù)x及所對(duì)應(yīng)的值y滿足二次函數(shù):y=x-x.
當(dāng)x=n時(shí)，有y=n-n=n（n-1），
即ABC中邊BC上有n個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都與A連接，共有（n-1）個(gè)三角形.
利用梯形面積公式法解決本例也很捷徑，請(qǐng)讀者自行完成.
綜上所述，當(dāng)一列數(shù)，只要兩次連續(xù)作差后為同一常數(shù)，它的表達(dá)式除觀察利用綜合知識(shí)解決外，還有兩種方法較為捷徑：
1.它的某一項(xiàng)都可以寫成有規(guī)律數(shù)的和的形式.當(dāng)兩次作差為同常數(shù)1時(shí)，和的最后一項(xiàng)是與1的倍數(shù)有關(guān)（如例1、例4）;當(dāng)兩次作差為同常數(shù)2時(shí)，和的最后一項(xiàng)是與2的倍數(shù)有關(guān)（如例2、例3）;……然后再求項(xiàng)數(shù)，代入梯形面積公式法：
M=（a+b）h
長(zhǎng)度單位為十進(jìn)位時(shí)，相應(yīng)的面積單位就是百進(jìn)位，相應(yīng)的體積單位就是千進(jìn)位。這是單位換算的規(guī)律。
邊長(zhǎng)是指平面圖形每條邊的長(zhǎng)度。
與邊長(zhǎng)有關(guān)的公式：
1、正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。
2、正方形周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4。
3、正方形體積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。
4、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=相鄰兩邊長(zhǎng)的和×2。
5、長(zhǎng)方形面積=相鄰兩邊長(zhǎng)的積。
擴(kuò)展資料：
正方形的性質(zhì)：
1、兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；鄰邊互相垂直。
2、四個(gè)角都是90°，內(nèi)角和為360°。
3、對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
4、既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形（有四條對(duì)稱軸）。
正方形的判定：
1、對(duì)角線相等的菱形是正方形。
2、有一個(gè)角為直角的菱形是正方形。
3、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。
4、一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。
正方體的特征：
1、正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)連接三條棱。
2、正方體有12條棱，每條棱長(zhǎng)度相等。
筆者以具體的實(shí)踐案例為例，就“歸納推理過(guò)程”的課堂教學(xué)診斷展開分析論述。
一、一個(gè)課堂教學(xué)片段
為了更好地了解初中數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)的實(shí)際情況，筆者在A城一所中學(xué)開展了一次教研活動(dòng)，其中的一節(jié)數(shù)學(xué)課是人教版八年級(jí)下冊(cè)“矩形”的第一課時(shí)的內(nèi)容。
在導(dǎo)入新課后，教師首先請(qǐng)學(xué)生回憶平行四邊形的研究思路及性質(zhì)，而后演示了平行四邊形的模具，引導(dǎo)學(xué)生歸納出了矩形的概念。
此時(shí)，教學(xué)進(jìn)入了矩形性質(zhì)的學(xué)習(xí)階段，教學(xué)活動(dòng)如下：
師：類比平行四邊形的性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，猜想矩形有哪些性質(zhì)？（歷時(shí)1分30秒）
師：思考后，先在小組內(nèi)進(jìn)行交流，把所得結(jié)果寫在一張紙上，一會(huì)兒到講臺(tái)前交流。（歷時(shí)1分20秒）
師：請(qǐng)大家注意，需要同時(shí)驗(yàn)證你的猜想。（學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想歷時(shí)2分10秒）
師：請(qǐng)同學(xué)們展示你的猜想，矩形的性質(zhì)和結(jié)論。
生1：具有平行四邊形一切性質(zhì)，四個(gè)角相等，都是直角，并且對(duì)角線相等。
生2：矩形是由平行四邊形轉(zhuǎn)化而來(lái)，具有平行四邊形一切性質(zhì)，四個(gè)角都是直角，并且對(duì)角線平分且相等。
師：針對(duì)矩形，大家有兩個(gè)特殊的猜想，一個(gè)是“矩形的四個(gè)角都是直角”，對(duì)于該猜想的證明，根據(jù)定義很容易給出；另一個(gè)猜想是“對(duì)角線相等”，對(duì)于這個(gè)猜想，你有哪些驗(yàn)證方法？
生3：可以通過(guò)度量對(duì)角線的長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。
生4：用兩個(gè)完全一樣的矩形，分別連接兩條對(duì)角線，然后把這兩個(gè)矩形重合，繞著對(duì)角線的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)上面的矩形，當(dāng)上面一個(gè)角的頂點(diǎn)與下面一個(gè)角的頂點(diǎn)相互重合后，可以發(fā)現(xiàn)兩條對(duì)角線重合，這就說(shuō)明兩條對(duì)角線相等。
生5：證明RtABC≌RtBCD.（圖形略）
生6：利用勾股定理可證明：AC=BD。（圖形略）
師：下面請(qǐng)一名同學(xué)上臺(tái)寫出證明過(guò)程。
（一名同學(xué)在黑板上寫出了證明過(guò)程，其他同學(xué)在下面證明）
在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，活動(dòng)進(jìn)展得比較順利，學(xué)生很快就知道了矩形的兩條性質(zhì)，并用了四種方法進(jìn)行驗(yàn)證。
但是，課堂上還有一種非常明顯的現(xiàn)象，這就是，課堂氣氛沉悶，學(xué)生思維并不活躍。那么，為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？筆者認(rèn)為，對(duì)此問(wèn)題有必要進(jìn)行深入地研討。
二、針對(duì)“課堂沉悶”現(xiàn)象的教學(xué)審視
首先，在上面的這個(gè)教學(xué)片段中，學(xué)生通過(guò)類比、猜想，得到了矩形的性質(zhì)，似乎是全面的，其實(shí)未必。
矩形是由平行四邊形轉(zhuǎn)化而來(lái)，具有平行四邊形一切性質(zhì)，其基本性質(zhì)是通過(guò)演繹而得到的。而矩形又是特殊的平行四邊形，它的特殊性質(zhì)并非能通過(guò)類比而得到。其實(shí)，平行四邊形并不具有“對(duì)角線相等、四個(gè)內(nèi)角都是直角”的性質(zhì)，因而，無(wú)法類比得到。而矩形的這兩條性質(zhì)又是本節(jié)課的重點(diǎn)，它的靈活應(yīng)用更是本節(jié)課的難點(diǎn)。對(duì)于那些“學(xué)得不好，學(xué)得不快”的學(xué)困生來(lái)說(shuō)，進(jìn)行這種猜想是其能力所不及的。
其次，在驗(yàn)證“對(duì)角線相等”的這條性質(zhì)中，生3“度量”法和生4“旋轉(zhuǎn)”法，是真正的“驗(yàn)證的方法”嗎？
其實(shí)，驗(yàn)證是需要證明的，就像哥德巴赫猜想一樣，直到今天人類尚未完成。證明是需要演繹推理的，生3“度量”法和生4“旋轉(zhuǎn)”法都不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理方法，因而，這兩種方法只能是探究的方法、猜測(cè)方法。
上面的教學(xué)片斷存在的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是由于任教教師對(duì)“歸納推理的過(guò)程”理解不清、對(duì)矩形作為特殊的平行四邊形的“特殊性”沒有真正關(guān)注所致。同時(shí)，教師并沒有站在學(xué)生的角度，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生積極的思考，在動(dòng)態(tài)演示的過(guò)程中，沒有讓學(xué)生體會(huì)到“從一般的平行四邊形演變?yōu)榫匦蔚倪^(guò)程”，這也許是“課堂沉悶”現(xiàn)象產(chǎn)生的主要原因吧。
幾何推理是幾何課程內(nèi)容的核心內(nèi)容之一，這里的推理包含兩部分，一是歸納推理即包括歸納、類比、猜想等在內(nèi)的推理，也稱之為合情推理；二是演繹推理。在中小學(xué)課堂教學(xué)中，通常采取三種推理方式，第一種是典型的不完全歸納推理，其結(jié)論仍是“猜想”，這種推理常常用來(lái)佐證、猜想；第二種是借助圖形直觀的操作（圖形運(yùn)動(dòng)），有時(shí)可以用來(lái)進(jìn)行不嚴(yán)格意義下的證明，在某些條件下也可以用來(lái)進(jìn)行嚴(yán)格的證明，這種推理形式常常用來(lái)說(shuō)理（例如，“僅有圖形而不需要文字說(shuō)明”的無(wú)字證明）；第三種則屬于典型的演繹證明。讓學(xué)生是否獲得三種活動(dòng)的直接經(jīng)驗(yàn)，是否經(jīng)歷過(guò)相應(yīng)的推理活動(dòng)，對(duì)學(xué)生關(guān)于推理的掌握程度有顯著影響。
三、解決“課堂沉悶”現(xiàn)象，教學(xué)須體現(xiàn)出濃厚的學(xué)科韻味、深刻的學(xué)科內(nèi)涵
讓學(xué)生經(jīng)歷“歸納推理的過(guò)程”，其實(shí)是為了讓每一位學(xué)生都經(jīng)歷學(xué)科思考的過(guò)程，獲得直接的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，建構(gòu)真正的學(xué)科理解，最終形成良好的學(xué)科直觀。
為此，在不改變這節(jié)課先前環(huán)節(jié)的前提下，可以將“矩形的性質(zhì)的探究”作如下調(diào)整：
將生3“度量”法和生4“旋轉(zhuǎn)”法，改為探究的方法，以面向全體；如果有的學(xué)生學(xué)有余力，可鼓勵(lì)其采用折紙的方法進(jìn)行進(jìn)一步探究。
在平行四邊形的模具框架上，用橡皮筋拉出兩條對(duì)角線，此時(shí)可讓學(xué)生思考，若改變平行四邊形的形狀，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度有怎樣的變化？
（學(xué)生可以通過(guò)兩條橡皮筋的松緊程度猜想兩條對(duì)角線長(zhǎng)短的關(guān)系，當(dāng)夾角為銳角或鈍角時(shí)，一條橡皮筋緊、一條橡皮筋松。當(dāng)夾角為直角時(shí)，兩條橡皮筋的松緊程度相同，可以猜想兩條對(duì)角線相等，再進(jìn)一步可以度量。
從數(shù)學(xué)抽象的角度看，這一步是實(shí)物直觀層面的抽象，其關(guān)鍵在于，借助兩根相同的橡皮筋，幫助學(xué)生建構(gòu)“矩形對(duì)角線相等”的圖形性質(zhì)。
在上面的“矩形由平行四邊形轉(zhuǎn)化的過(guò)程”中，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，即兩條對(duì)角線始終相等。那么，是不是所有矩形都具有這個(gè)規(guī)律呢？我們?nèi)绾悟?yàn)證它？
對(duì)此，可以借助幾何畫板來(lái)制作一個(gè)矩形課件，在矩形動(dòng)態(tài)變化下，分別度量出相應(yīng)的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)（即拖動(dòng)矩形角上的一點(diǎn)，以改變矩形的大小），此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論在任何情況下，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度始終保持相等。
這個(gè)探究活動(dòng)完全可以由學(xué)生（或?qū)W生小組）獨(dú)立完成（一般不需要教師的實(shí)質(zhì)性介入）。
利用生4“旋轉(zhuǎn)”法進(jìn)行探究。即，給每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備兩個(gè)完全一樣的矩形，分別連接兩條對(duì)角線，然后把這兩個(gè)矩形重合，接著沿對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)上面的矩形，當(dāng)上面一個(gè)角的頂點(diǎn)與下面一個(gè)角的頂點(diǎn)重合后，發(fā)現(xiàn)兩條對(duì)角線重合，這就說(shuō)明兩條對(duì)角線相等。
（如此，通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、探究觀察，學(xué)生積累了動(dòng)手的經(jīng)驗(yàn)和探究的經(jīng)驗(yàn)，從而培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力）
利用折紙的方法進(jìn)一步探究矩形相關(guān)的性質(zhì)。矩形是軸對(duì)稱圖形，并且有兩條對(duì)稱軸。準(zhǔn)備一張A4紙，沿一條對(duì)稱軸對(duì)疊A4紙，接著再沿另一條對(duì)稱軸對(duì)疊，形成一個(gè)小的矩形，最后沿小的矩形的對(duì)角線對(duì)折（其中，對(duì)角線的一個(gè)頂點(diǎn)是兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)）。展開后，就可以發(fā)現(xiàn)A4紙的兩條對(duì)角線相等。
當(dāng)然，這個(gè)活動(dòng)也可以作為部分學(xué)生課后研究的問(wèn)題，而作為全班同學(xué)的共性要求可能高了一些。
1.有意義接受學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的作用
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候使用有意義學(xué)習(xí)的方式，學(xué)生可以不用重新發(fā)現(xiàn)，而只需要在原有知識(shí)體系中尋找和新知識(shí)之間穩(wěn)定的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，讓它們之間進(jìn)行融合，完成新舊資料之間的同化過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的積累或者知識(shí)結(jié)構(gòu)的改變。比方說(shuō)，在學(xué)習(xí)“四則混合運(yùn)算定理”的時(shí)候，學(xué)生只需要在已經(jīng)學(xué)會(huì)單獨(dú)使用這四種運(yùn)算方法的前提下，記住“先進(jìn)行乘除，后進(jìn)行加減”的運(yùn)算順序，就可以完成這一新知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。邏輯性是數(shù)學(xué)的最大特征，相互聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)完整的系統(tǒng)，這就讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有較大的思想性[1]。因此，大部分的數(shù)學(xué)知識(shí)需要使用有意義學(xué)習(xí)的方式來(lái)完成學(xué)習(xí)。
一般來(lái)說(shuō)，有意義學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，不但是學(xué)生通過(guò)新舊材料之間的關(guān)系學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程，也是學(xué)生利用它們之間的聯(lián)系對(duì)原有知識(shí)體系進(jìn)行改造的過(guò)程。而完成這一過(guò)程的關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)的“理解”。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這一過(guò)程是創(chuàng)新學(xué)習(xí)思維方式，是激發(fā)思考，是讓他們保持興奮的動(dòng)力；對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，這一過(guò)程是教師遵照人類能力形成的一般原則指引學(xué)生通過(guò)努力實(shí)現(xiàn)能力提升的過(guò)程。
2.有意義接受學(xué)習(xí)的過(guò)程
關(guān)于新知識(shí)的學(xué)習(xí)，皮亞杰的觀點(diǎn)是：學(xué)習(xí)不是學(xué)生對(duì)新知識(shí)的闡述，而是原有知識(shí)和新知識(shí)之間相互影響的過(guò)程。奧蘇貝爾對(duì)這一觀點(diǎn)進(jìn)行了延伸，他認(rèn)為學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程就是對(duì)學(xué)生心理和新知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了解的過(guò)程[2]。
他這一觀點(diǎn)的重心是學(xué)生對(duì)新材料的接受程度，學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于他原有的知識(shí)體系是不是和新知識(shí)之間有聯(lián)系點(diǎn)，有意義學(xué)習(xí)的過(guò)程中材料和原有知識(shí)體系內(nèi)部知識(shí)點(diǎn)相互影響，而這種影響不但是對(duì)新材料的影響，也包含對(duì)原有知識(shí)體系的改變。奧蘇貝爾通過(guò)特別的公式來(lái)展現(xiàn)同化是如何發(fā)生的，他用“a”代表新材料，用“A”代表原有知識(shí)體系中的知識(shí)點(diǎn)，那么同化發(fā)生的過(guò)程就可以通過(guò)下面的式子展現(xiàn)：
同化之后，不但新材料的意義有所轉(zhuǎn)變，就是原有知識(shí)點(diǎn)也都具備了新的意義。A轉(zhuǎn)變?yōu)椤癆'”，a轉(zhuǎn)變?yōu)椤癮'”。但是式子中所表現(xiàn)的只是同化過(guò)程的一個(gè)環(huán)節(jié)，在這一環(huán)節(jié)結(jié)束之后，馬上就會(huì)有新的環(huán)節(jié)開始，也就是遺忘環(huán)節(jié)。假如在這一環(huán)節(jié)結(jié)束之后，不能很好地實(shí)現(xiàn)“A'+a'”狀態(tài)中兩個(gè)元素的分離，慢慢的“A'+a'”的綜合就會(huì)被A'或A所取代，也就是說(shuō)新材料在新的知識(shí)體系中被遺忘或者是取代。所以說(shuō)這只是整個(gè)同化過(guò)程的一個(gè)子過(guò)程，隨著這個(gè)子過(guò)程的完成，會(huì)有一個(gè)新的過(guò)程接踵而至，這就是遺忘過(guò)程。而想要減少新知識(shí)的遺忘，必須立即進(jìn)行下一個(gè)同化環(huán)節(jié)，增加新材料中的可利用元素。其進(jìn)程可以展現(xiàn)如下：
奧蘇貝爾用同化這一觀點(diǎn)來(lái)總結(jié)學(xué)習(xí)的規(guī)律，我們把這種模式歸納總結(jié)運(yùn)用到教學(xué)當(dāng)中去幫助學(xué)生開展有意義接受學(xué)習(xí)，在保持原有知識(shí)的前提下去拓展新知識(shí)[3]。奧蘇貝爾在這方面沒有得出最終結(jié)果，但是他用上面的公式來(lái)表示同化的過(guò)程，說(shuō)明他還是在這方面進(jìn)行了試驗(yàn)的，這樣的試驗(yàn)具有不同凡響的意義。
二、有意義接受學(xué)習(xí)教學(xué)案例
1.下位學(xué)習(xí)案例（新授課：矩形）
本案例中的教學(xué)是對(duì)于矩形的新授課，學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形，所以在進(jìn)行矩形的新授課時(shí)，想首先在平行四邊和矩形的定義之間建立聯(lián)系，然后再講授矩形的相關(guān)知識(shí)。
（1）思考
①當(dāng)∠a發(fā)生改變，平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相應(yīng)的怎么改變？
②當(dāng)∠a是銳角時(shí)，對(duì)角線是否等長(zhǎng)？如果∠a是鈍角呢？
③當(dāng)∠a是直角時(shí)，平行四邊形為矩形，對(duì)角線是否等長(zhǎng)？
答：在上述活動(dòng)中
①當(dāng)∠a的大小發(fā)生變化時(shí)，兩條對(duì)角線也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變，長(zhǎng)度較長(zhǎng)的對(duì)角線相應(yīng)變短，短的則會(huì)變長(zhǎng)。如果∠a變成直角時(shí)，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度則會(huì)相等。當(dāng)∠a再發(fā)生變化時(shí)，對(duì)角線的長(zhǎng)度又會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。
②當(dāng)∠a是銳角或鈍角時(shí)，平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度不等。
③如果∠a是直角，此時(shí)的平行四邊形就屬于矩形，這時(shí)兩條對(duì)角線是等長(zhǎng)的。
結(jié)論：任意一條對(duì)角線都能把矩形分為兩個(gè)全等的直角三角形，兩條對(duì)角線將矩形分為四個(gè)等腰三角形。所以，關(guān)于很多矩形問(wèn)題的解決可以通過(guò)直角三角形或者是等腰三角形來(lái)解決。
矩形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等；四個(gè)角都是直角；對(duì)角線等長(zhǎng)且平分。
（2）鞏固練習(xí)
下圖中，矩形abcd，ad、cb交于點(diǎn)e，∠aeb=60°，ac=4cm.
①aec是什么形狀？
②求對(duì)角線的長(zhǎng)。
分析：①矩形的性質(zhì)中就有對(duì)角線相等并平分，所以ae=ec，在aec中，因?yàn)椤蟖ec=60°，而且兩邊ea=ec，所以aec是等邊三角形。
②可直接運(yùn)用矩形的性質(zhì)來(lái)求對(duì)角線的長(zhǎng)度。
解：①在矩形abdc中，
ad和cb是矩形abdc的對(duì)角線，ad與bc等長(zhǎng)且平分
ea=ec，所以aec為等腰三角形。
又∠aec=60°
aec是等邊三角形。
②aec是等邊三角形，
ea=ac=4cm，矩形的對(duì)角線不但相等而且平分，可以得出ad=cb=2ea=8cm
對(duì)角線長(zhǎng)度為8cm。
想一想：當(dāng)平行四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，這樣的平行四邊形是什么四邊形？怎么證明？和同學(xué)相互交流。
答：對(duì)角線等長(zhǎng)的平行四邊形是矩形。
證明：圖中的平行四邊形abdc中，ac=bd，cb=ad，cd=ab
abc=bdc（SSS）
∠acd=∠bdc
又ac//bd
∠acd+∠bdc=2∠acd=180°，即∠acd=90°
平行四邊形abdc是矩形
對(duì)角線等長(zhǎng)的平行四邊形是矩形
由以上敘述我們可以總結(jié)出判讀矩形的兩個(gè)條件：
①內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形
②對(duì)角線等長(zhǎng)的平行四邊形是矩形
（3）歸納總結(jié)
①矩形的性質(zhì)
所有內(nèi)角都是直角；對(duì)角線不但相等而且平分；對(duì)邊平行而且相等；軸對(duì)稱圖形。
②矩形的判別條件
矩形的判別可以分為兩個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行，首先是看待定四邊形是不是平行四邊形，然后就要找出平行四邊形中是否有直角。
（4）評(píng)析
平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，而矩形在平行四邊形中也是屬于比較特別的一種，矩形就是平行四邊形的一個(gè)下位概念。因?yàn)榫匦问峭ㄟ^(guò)對(duì)平行四邊形的條件加以限定而得出的，說(shuō)明了相較于矩形，平行四邊形具有更強(qiáng)的包攝性。通過(guò)矩形的學(xué)習(xí)，不但鞏固了平行四邊形的關(guān)鍵屬性，還對(duì)平行四邊形的關(guān)鍵屬性進(jìn)行了擴(kuò)充。
對(duì)教材進(jìn)行相應(yīng)的分析可以得出，本節(jié)學(xué)習(xí)的課程符合有意義接受學(xué)習(xí)的條件，本節(jié)課程體現(xiàn)了奧蘇貝爾學(xué)習(xí)理論中的“下位學(xué)習(xí)”。新的關(guān)于矩形的知識(shí)和已掌握的關(guān)于平行四邊形的知識(shí)形成了下位關(guān)系，新的概念被同化以后并沒有使上位概念發(fā)生本質(zhì)的改變，但是上位概念具備了更強(qiáng)的概括性、包容性以及可遷移性。可以利用這一關(guān)系對(duì)平行四邊形進(jìn)行加工，找出平行四邊形和矩形二者之間的關(guān)系：對(duì)角線相等的平行四邊形就是矩形；平行四邊形中有一個(gè)內(nèi)角是直角的就是矩形等。矩形的知識(shí)就會(huì)被同化到平行四邊形的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，而平行四邊形的原有知識(shí)結(jié)構(gòu)也會(huì)得到補(bǔ)充，就建立起了新的平行四邊形的知識(shí)結(jié)構(gòu)[5]。
2.上位學(xué)習(xí)案例（新授課：二元一次不等式）
（1）出示情景
呈現(xiàn)不等式題目并求解：y2-y-2
方案一，轉(zhuǎn)換為不等式組，師生共解。如下：
根據(jù)原不等式等價(jià)于（y-2）（y+1）
y-20或者y-2>0y+1
所以解不等式組即原不等式的解集為：
{y|-1
方案二，應(yīng)用變式，師導(dǎo)生解。如下：
根據(jù)原不等式等價(jià)于：
y2-y+■-■-2
教師在此處需要留足時(shí)間，便于學(xué)生認(rèn)真思索上式的變式如何呈現(xiàn)。
思考后得出：|（y-■）|
（2）提出問(wèn)題
①教師提出問(wèn)題：假如不動(dòng)筆解不等式，你有沒有辦法寫出不等式y(tǒng)2-y-2
②教師“搭橋”：請(qǐng)你思考原式的補(bǔ)集并思考跟不等式的解集有什么聯(lián)系？
③教師繼續(xù)引導(dǎo)：仔細(xì)觀察不等式y(tǒng)2-y-20及方程y2-y-2=0，認(rèn)真思考，你有什么新發(fā)現(xiàn)？或者是你有哪些疑惑呢？
④學(xué)生匯報(bào)交流。
發(fā)現(xiàn)1：通過(guò)計(jì)算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；觀察不等式會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們的解集分別與-1和2有關(guān)，數(shù)軸直觀的顯示出y2-y-20的解集集中在兩根之間的區(qū)間。發(fā)現(xiàn)2：根據(jù)上面的規(guī)律，我們可以先求出方程的根，再求不等式的解。
（3）歸納提升
①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1
②教師表?yè)P(yáng)學(xué)生表述的非常清楚。新的情況是，附加說(shuō)明a
（4）拓展練習(xí)
①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2
③-x2+2x+3
（5）評(píng)析
從本節(jié)課的片段中不難發(fā)現(xiàn)，這是一節(jié)典型的“上位學(xué)習(xí)”方式的具體運(yùn)用，符合有意義接受學(xué)習(xí)的基本條件。本節(jié)課中學(xué)生的原有知識(shí)與新授知識(shí)（一元二次不等式的解法）之間構(gòu)成了典型的上位關(guān)系。（見圖3）
上位關(guān)系示意圖清晰地顯示出新知識(shí)與原有五個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，新知識(shí)既是對(duì)原有知識(shí)的歸納概括，又能將原有知識(shí)加以整合運(yùn)用。例如，解集是要用集合來(lái)呈現(xiàn)，求解過(guò)程通常需要化歸后解決，數(shù)形結(jié)合的直觀理解等，可見，新知識(shí)與原有知識(shí)相比，其包容性與概括性更強(qiáng)[5]。
化歸思想、遷移思想以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透與應(yīng)用貫穿整個(gè)過(guò)程，師生的數(shù)學(xué)探究包含了教師的有效引導(dǎo)和學(xué)生的主動(dòng)探究、積極思索、合理總結(jié)，整個(gè)案例呈現(xiàn)出了高效地運(yùn)用上位學(xué)習(xí)的方式完成有意義接受學(xué)習(xí)的過(guò)程。
參考文獻(xiàn)
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三視圖問(wèn)題是新課改后高考必考內(nèi)容，試題的類型也在不斷的變化和創(chuàng)新.正方體和三棱錐是關(guān)于三視圖試題中的兩個(gè)重要的模型，結(jié)合這兩個(gè)模型構(gòu)造、設(shè)計(jì)出了很多新穎別致的試題.比如：（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），若畫該四面體的三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）.
通過(guò)對(duì)該試題的解答，會(huì)產(chǎn)生哪些啟發(fā)和聯(lián)想呢？
2 問(wèn)題解答
首先，根據(jù)題意在空間直角坐標(biāo)系中構(gòu)造出四面體A-B1D1C的的圖形;
其次，為了便于研究這個(gè)四面體的三視圖，將四面體的圖形進(jìn)行補(bǔ)充，補(bǔ)充出如圖1所示的四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在正方體
ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn);
圖1 圖2
第三，做該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面zOx為投影面，做出四面體A-B1D1C在正方體的正視圖為ADD1A1.如圖2所示，答案A.
感悟：當(dāng)我們將四面體A-B1D1C放在正方體ABCD-A1B1C1D1中時(shí)，以平面zOx為投影面的正視圖ADD1A1很容易被找到，之所以容易就是因?yàn)檎业搅苏襟w這個(gè)模型，結(jié)合這個(gè)模型再找它的三視圖就變得容易了.結(jié)合這個(gè)模型還會(huì)得到哪些三視圖的結(jié)論呢？
3 問(wèn)題模型
3.1 提出問(wèn)題
以正方體的頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐的三視圖會(huì)是什么樣的圖形？
為了研究問(wèn)題的方便，以下的涉及三視圖的問(wèn)題都是在滿足：平面zOy為正視圖的投影面，平面xOy為俯視圖的投影面，平面zOx為左視圖的投影面的條件下進(jìn)行的.
3.2 分類解答
類型1 正方體中相交于同一點(diǎn)的三條棱構(gòu)成的三棱錐.
如圖3所示，在正方體中，相交于同一點(diǎn)的三條棱構(gòu)成的三棱錐因?yàn)轫旤c(diǎn)的位置的不同應(yīng)該有8個(gè).在這8個(gè)三棱錐中，每個(gè)三棱錐的三視圖（如圖4所示）都是三個(gè)全等的等腰直角三角形.
圖3 圖4
類型2 正方體中成異面直線的兩條棱的四個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.
在正方體中，由成異面直線的兩條棱的四個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐共有16個(gè).這16個(gè)三棱錐的三視圖也是全等的等腰直角三角形.例如，由成異面直線的棱AD，A1B1的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐如圖5所示，與成異面直線的棱D1D，A1B1的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐，如圖7所示，具有完全相同的三視圖.如圖6、8所示.
圖5 圖6圖7 圖8
類型3 正方體中成異面直線的一條棱與正方體的一條面對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐.
在正方體中，成異面直線的一條棱與一條面對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐有兩類：一類是和棱相交的側(cè)面的對(duì)角線與棱構(gòu)成的三棱錐.例如，如圖9所示，A1B1，BC1四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.此類三棱錐與類型1中的由同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱構(gòu)成的棱錐完全相同.如圖10所示，此類三棱錐的三視圖為三個(gè)全等的等腰直角三角形.
圖9 圖10圖11 圖12
另一類是和棱平行的平面內(nèi)的對(duì)角線與棱構(gòu)成的三棱錐.例如，如圖11所示，A1B1，AC四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.如圖12所示，此類三棱錐的三視圖中有一個(gè)正方形和兩個(gè)全等的等腰直角三角形.
類型4 正方體中成異面直線的一條棱與正方體的一條體對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐.
在正方體中，成異面直線的一條棱與正方體的一條體對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐共有24個(gè).
圖13 圖14
例如，如圖13所示，棱A1B1和體對(duì)角線AC1的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐的三視圖為三個(gè)全等的等腰直角三角形，如圖14所示.同樣其他的三棱錐構(gòu)成的三視圖也是三個(gè)全等的等腰直角三角形.
類型5 正方體中成異面直線的兩條面對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐.
在正方體中，成異面直線的兩條面對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐分成兩類：
一類是兩個(gè)面對(duì)角線在相交的兩個(gè)面中，如圖15所示，此類的面對(duì)角線的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐和一條棱與一條面對(duì)角線構(gòu)成的棱錐是一樣的.如圖16所示，此類三棱錐的三視圖是三個(gè)全等的等腰直角三角形.
圖15 圖16圖17 圖18
另一類是兩個(gè)面對(duì)角線在兩個(gè)互相平行的平面中，如圖17所示，此時(shí)構(gòu)成的三棱錐的三視圖是三個(gè)全等的正方形，如圖18所示.特別要注意三視圖中正方形內(nèi)部?jī)蓷l對(duì)角線的虛實(shí).
類型6：正方體中成異面直線的面對(duì)角線和體對(duì)角線的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.
圖19 圖20
在正方體中，成異面直線的面對(duì)角線和體對(duì)角線的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐一共有24個(gè)，如圖19所示.如圖20所示，這樣的三棱錐的三視圖是兩個(gè)全等的等腰直角三角形和一個(gè)正方形.這種三棱錐構(gòu)成的三視圖是唯一一種既有直角三角形，又有正方形的三視圖.
3.3 規(guī)律總結(jié)
通過(guò)以上各類不同三棱錐的三視圖發(fā)現(xiàn)，由正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的各種不同類型的三棱錐的三視圖具有下列特點(diǎn)：
第一，構(gòu)成三視圖的圖形為等腰直角三角形或正方形.
第二，構(gòu)成三視圖的等腰直角三角形都全等.
第三，構(gòu)成三視圖的正方形的兩條對(duì)角線都存在，且一個(gè)虛線，一個(gè)實(shí)線.
第四，構(gòu)成三視圖的等腰直角三角形或正方形的邊長(zhǎng)都相同.
第五，只有以面對(duì)角線和體對(duì)角線端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐的三視圖才能使等腰直角三角形和正方形同時(shí)存在.
第六，只有互相平行的面對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐的三視圖才都是正方形.
4 問(wèn)題拓展
拓展1：在棱長(zhǎng)為1的正六棱柱中，若以棱柱的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造三棱錐，則三棱錐的三視圖有哪些圖形？這些圖形之間有什么關(guān)系？
拓展2：如果將棱長(zhǎng)為1的正四面體水平放在xOy所在的平面內(nèi)，且水平旋轉(zhuǎn)正四面體，使底面的棱與y軸分別成0，π6，π4，π3，π2角時(shí)，那么正四面體在zOy所在的平面的投影面的正視圖是什么圖形？
一、例題解析
例1：在北師大版教材《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第三章中有這樣一道題目：任意作一個(gè)四邊形，并將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來(lái)，得到一個(gè)新的四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴進(jìn)行交流。
在做這道題時(shí)，我請(qǐng)學(xué)生畫一畫、推一推、量一量、猜一猜并證一證。
思路點(diǎn)撥：為了說(shuō)明題目的一般性，我們?cè)诮滩脑瓐D（圖1）的基礎(chǔ)上再畫出圖2。該題目是探索四邊形EFGH的形狀，我們可從四邊形EFGH的四條邊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系入手。由題設(shè)知點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，符合三角形中位線定理的條件，可構(gòu)造三角形的中位線，故連接AC，則EF是ΔBAC的中位線，同理GH是ΔDAC的中位線。
解：如圖1、圖2，四邊形EFGH是平行四邊形。證明如下：
連接AC，
點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
EF∥GH，EF=GH。
四邊形EFGH是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)。
評(píng)注：該題也可連接BD，通過(guò)證EF∥GH，F(xiàn)G∥EH，或證EF=GH，F(xiàn)G=EH，均可獲得結(jié)論。這是對(duì)平行四邊形的定義和判定定理的考查。解該題的思路是構(gòu)造三角形及其中位線，這是數(shù)學(xué)中常用的“建模”思想，把四邊形兩邊的中點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三角形兩邊的中點(diǎn)，又體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想。從該題的推理過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)：中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是由原四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC和BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系來(lái)確定的，不論原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形。
二、繼續(xù)探究
1.如果把上題中的“任意四邊形”改為“平行四邊形”，它的中點(diǎn)四邊形是什么形狀呢？
根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)定理可知：EH∥FG，EH=FG，所以，平行四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH還是平行四邊形。證明方法和例1類似。
2.把“任意四邊形”改為“菱形”或“矩形”，它的中點(diǎn)四邊形仍是平行四邊形嗎？是不是更特殊？
依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的新四邊形的形狀與哪些線段有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？
思路點(diǎn)撥：以菱形的中點(diǎn)四邊形為例，由于菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，因此其中點(diǎn)四邊形除具有對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)外，還可推出鄰邊互相垂直，故菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形。因?yàn)榫匦蔚膬蓷l對(duì)角線相等，所以可推出矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形。證明方法和例1類似。
3.把任意四邊形改為“正方形”，它的中點(diǎn)四邊形是什么四邊形？
思路點(diǎn)撥：正方形的對(duì)角線既相等又互相垂直，所以，正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形，證明方法和例1類似。
反過(guò)來(lái)，中點(diǎn)四邊形為正方形的圖形舉例如下：
通過(guò)觀察和探究上圖可以知道，中點(diǎn)四邊形是正方形的原四邊形不只是正方形，只要當(dāng)原四邊形的兩條對(duì)角線滿足相等且互相垂直時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形就是正方形。
4.把任意四邊形改為“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”，它的中點(diǎn)四邊形又是什么四邊形呢？
通過(guò)觀察和探究，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)它是等腰梯形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形又是特殊的平行四邊形――菱形。
三、小結(jié)
結(jié)合我們剛才探究的各種圖形，我們可以總結(jié)如下：
任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形；
平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；
矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形；
菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；
正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形；
一般梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；
直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；
等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形。
四、問(wèn)題討論
結(jié)合剛才的證明過(guò)程，討論并思考：
（1）中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的什么有密切關(guān)系？
（2）要使中點(diǎn)四邊形是菱形，原四邊形一定要是矩形嗎？
（3）要使中點(diǎn)四邊形是矩形，原四邊形一定要是菱形嗎？
通過(guò)畫一畫、推一推、量一量、猜一猜和證一證，學(xué)生得出以下結(jié)論：
（1）中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的對(duì)角線有密切關(guān)系；
（2）只要原四邊形的兩條對(duì)角線相等，就能使中點(diǎn)四邊形是菱形；
（3）只要原四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，就能使中點(diǎn)四邊形是矩形；
（4）只要原四邊形的兩條對(duì)角線既相等又互相垂直，就能使中點(diǎn)四邊形是正方形；
（5）如果原四邊形的兩條對(duì)角線既不相等又不互相垂直，那么它的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。
一、明了變式教學(xué)理論
無(wú)論應(yīng)用怎樣的教學(xué)方法，教師都需要先了解其理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)變式教學(xué)同樣具備其獨(dú)有的理論基礎(chǔ)。尤其是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)這種抽象性很強(qiáng)的知識(shí)，更需要學(xué)生做好充分的準(zhǔn)備和積極的探究。初中階段，學(xué)生的思維能力正在發(fā)展，對(duì)于學(xué)生理解能力的培養(yǎng)是非常重要的。數(shù)學(xué)中有很多概念和符號(hào)都比較抽象，學(xué)生在理解時(shí)會(huì)出現(xiàn)很大難度，難以快速形成系統(tǒng)的知識(shí)框架。目前，很多初中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)用文字講解加符號(hào)教學(xué)的方式進(jìn)行教學(xué)，這對(duì)學(xué)生知識(shí)理解的幫助作用是微乎其微的，學(xué)生在難以理解知識(shí)的情況下，智力成長(zhǎng)也會(huì)受到阻礙，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率無(wú)法提高，初中數(shù)學(xué)教學(xué)失去意義。例如：學(xué)習(xí)極限知識(shí)時(shí)，教師引入了一個(gè)例子：比較1與0.999哪個(gè)大？有的學(xué)生認(rèn)為1大，根據(jù)極限理論，即使無(wú)限增大，也不可能超過(guò)1；也有一些學(xué)生認(rèn)為0.999大，因?yàn)?.333接近三分之一個(gè)，如果在此基礎(chǔ)上擴(kuò)大三倍，那么結(jié)果顯而易見。在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，其教學(xué)活動(dòng)是圍繞著培養(yǎng)學(xué)生理解能力這一主題展開的，通過(guò)教學(xué)知識(shí)的理論與應(yīng)用，將傳統(tǒng)的理論教學(xué)變成應(yīng)用教學(xué)。
二、發(fā)揮變式教學(xué)的作用
在明確變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)后，還需要在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行應(yīng)用，充分發(fā)揮其作用。在變式教學(xué)中需要用到非常多的例題，看起來(lái)與題海戰(zhàn)術(shù)有相似之處，但兩者的本質(zhì)是完全不同的，變式教學(xué)引用例題，不是為了讓學(xué)生見到更多題型，按套路解題，而是在教學(xué)抽象理論知識(shí)的時(shí)候，通過(guò)靈活多變的題目，將枯燥乏味的理論知識(shí)演繹出來(lái)，讓學(xué)生運(yùn)算規(guī)律操作得到充分的鍛煉。在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用變式教學(xué)，可以有以下三個(gè)作用。
其一，數(shù)學(xué)理論知識(shí)的變式教學(xué)的重點(diǎn)，變式教學(xué)能夠很好地促進(jìn)數(shù)學(xué)理論知識(shí)教學(xué)。在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，對(duì)于數(shù)學(xué)抽象理論知識(shí)的教學(xué)，無(wú)論是定理、概念、性質(zhì)還是公式，都可以與其應(yīng)用教學(xué)結(jié)合起來(lái)，首先從比較具有特殊性的問(wèn)題入手，將抽象的理論知識(shí)具象化，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有初步的了解，然后在逐漸發(fā)展到一般性的問(wèn)題當(dāng)中，對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行普適性講解，從而易化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生快速掌握。
其二，數(shù)學(xué)變式教學(xué)有助于學(xué)生思維能力的提高。初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)質(zhì)是對(duì)理論知識(shí)的教學(xué)，在教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生的思維理解力一直在提升，對(duì)知識(shí)的深入探究，也能鍛煉學(xué)生的思維深度。在變式教學(xué)中，通過(guò)反例的列舉，能夠從另一個(gè)角度，將知識(shí)的本質(zhì)更清晰地反映出來(lái)，同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，將反例與原問(wèn)題對(duì)比分析，能夠提高學(xué)生的思維批判性，增強(qiáng)學(xué)生的判斷能力；數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，一題多解、一法多用以及一題多變等模式，能夠?qū)⒏黝悊?wèn)題的多個(gè)角度展現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，能夠有效提升自身的思維全面性和敏捷性。
其三，變式教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和邏輯推導(dǎo)能力。例如：在教學(xué)有關(guān)多邊形的對(duì)角線的知識(shí)時(shí)，如果教師直接說(shuō)出其公式，學(xué)生并不能很快的理解，對(duì)此，教師可以應(yīng)用變式教學(xué)，舉出這樣的例子：從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，作對(duì)角線（如圖所示），問(wèn)題一，四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作1條對(duì)角線、五邊形可以作2條、六邊形可以作3條、那么七邊形可以作幾條對(duì)角線？n邊形呢？問(wèn)題二，上面做出的對(duì)角線把四邊形劃分為兩個(gè)三角形、把五邊形劃分為3個(gè)三角形、六邊形4個(gè)，問(wèn)，把n邊形劃分為幾個(gè)三角形？問(wèn)題三，根據(jù)以上規(guī)律，探究多邊形內(nèi)所有對(duì)角線的條數(shù)，問(wèn)，n邊形有幾條對(duì)角線？
對(duì)于第一問(wèn)的解題，我們可以通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，其實(shí)從一點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線，就是與除了相鄰點(diǎn)之外的所有點(diǎn)連接，所以七邊形有4條，n邊形有n-3條。對(duì)于第二問(wèn)，同樣的道理，可以推知n邊形可以分成n-2個(gè)三角形。對(duì)于第三問(wèn)，每個(gè)點(diǎn)出發(fā)可以作n-3條對(duì)角線，共n個(gè)點(diǎn)，相同兩點(diǎn)作的對(duì)角線有重復(fù)，故n邊形一共有n（n-3）/2條對(duì)角線。學(xué)生通過(guò)一步步的解題，就能夠提高自身的探究能力和邏輯思維能力。
一、 分析和綜合的思考方法
經(jīng)歷“中心對(duì)稱圖形（一）”的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了本章圖形的一些性質(zhì)和獲得了一些結(jié)論，是通過(guò)“做”的方式得到的. 事實(shí)上，僅憑直覺經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的結(jié)論有時(shí)是靠不住的，還必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理，才能讓我們的認(rèn)識(shí)到達(dá)一個(gè)理性層面. 源于此，課本特設(shè)了兩個(gè)欄目“思考與表述”、“證明的途徑”. 前者告訴我們“怎么想”和“怎么寫”，后者引導(dǎo)我們逐步學(xué)會(huì)綜合的思考方法. 怎么想是分析過(guò)程，怎么寫是有條理的表達(dá)過(guò)程，兩者是互逆思維. 其實(shí)，尋找證明思路的過(guò)程就是交替地運(yùn)用分析和綜合的思考方法的過(guò)程，不僅僅是單向思維，常常需要從兩個(gè)方向思考：“證明結(jié)論，需要什么條件？”“從已知條件可以推出哪些證明結(jié)論所需的事項(xiàng)？”（即由因索果和執(zhí)果索因）這樣有利于探索并獲得證明的思路. 這些思考方法是我們學(xué)好本章內(nèi)容必須具備的思維品質(zhì). 思想方法總是與具體知識(shí)共生共長(zhǎng)，不是憑空產(chǎn)生的. 于是，我們繼續(xù)站在五個(gè)基本事實(shí)的平臺(tái)上，經(jīng)歷觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、驗(yàn)證、說(shuō)理等活動(dòng)過(guò)程，習(xí)得了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)以及平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定、等腰梯形的性質(zhì)和判定. 在交流證明思路的過(guò)程中，我們要考慮證明的出發(fā)點(diǎn)（源頭）和過(guò)程（路徑），縝密地完成證明過(guò)程.
二、 分類的思想方法
例如探索一個(gè)矩形、菱形是正方形的條件，可以分為：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形；還可以通過(guò)對(duì)角線分類：對(duì)角線垂直的矩形是正方形、對(duì)角線相等的菱形是正方形. 按照“對(duì)稱性”可將圖形分為軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形. 常見的軸對(duì)稱圖形有：線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓、箏形；常見的中心對(duì)稱圖形有：線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓.
分類有助于我們把握問(wèn)題的本質(zhì)，了解研究對(duì)象的共性和差異，分類是探索數(shù)學(xué)研究對(duì)象性質(zhì)的有效途徑. 特別是對(duì)于幾何圖形的分類，有利于培養(yǎng)幾何的直觀性和思維的層次性.
三、 轉(zhuǎn)化、類比的思想方法
在學(xué)習(xí)“等腰三角形的判定”時(shí)，通過(guò)回憶將一個(gè)等腰三角形剪出等腰梯形的過(guò)程，引導(dǎo)我們感受將一個(gè)有待推證的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可證的問(wèn)題，是解決問(wèn)題的一個(gè)重要策略. 其實(shí)，研究四邊形問(wèn)題，常常要把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問(wèn)題，這就把一個(gè)有待解決的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的問(wèn)題. 我們?cè)谘芯刻菪蔚闹形痪€性質(zhì)時(shí)，類比三角形中位線的性質(zhì)；在證明梯形中位線的性質(zhì)定理時(shí)，是通過(guò)添加輔助線，把梯形中位線轉(zhuǎn)化為三角形的中位線.
事實(shí)上，轉(zhuǎn)化、類比的思想方法是我們獲得新知的重要途徑. 有理數(shù)運(yùn)算就是通過(guò)引入絕對(duì)值的概念，將它轉(zhuǎn)化為算術(shù)運(yùn)算；通過(guò)引入相反數(shù)和倒數(shù)的概念，將有理數(shù)的減法和除法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法和乘法運(yùn)算；整式加減的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)同類項(xiàng)的概念轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加減即化式的運(yùn)算為數(shù)的運(yùn)算. 解一元一次方程的過(guò)程，就是通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)等操作步驟，將所給方程轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)方程的過(guò)程. 解一次方程組的過(guò)程就是用代入消元或加減消元，將“多元”轉(zhuǎn)化為“一元”的過(guò)程. 還有，我們類比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)分式、類比一元一次方程學(xué)習(xí)一元一次不等式等.
四、 正難則反的思想方法
本章多處滲透了“正難則反”（也稱“反證法”）的思想. 穿插在課本中的閱讀欄目“倒過(guò)來(lái)想”、“生活中的一些判斷與推理”就是一種逆向思考方法，有助于我們更好地理解“正難則反”的本質(zhì).
在研究角平分線的性質(zhì)時(shí)，就是借助簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)事例（“如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離不相等，那么這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上. ”你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？）說(shuō)明運(yùn)用反證法也是獲得結(jié)論正確性的一種重要方法，進(jìn)而從側(cè)面幫助我們理解“角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上”這一性質(zhì).
“舉反例”的方法，能幫助我們?cè)诒容^和區(qū)別中體會(huì)反證法的含義. 比如：你認(rèn)為“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形”這個(gè)結(jié)論正確嗎？為什么？顯然，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的. 因?yàn)榈妊菪沃幸唤M對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，而等腰梯形不是平行四邊形. 又如：為了深化我們對(duì)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”的理解，給出了“對(duì)角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形”的問(wèn)題推證，借助反證法的“三段論”形式（假設(shè)……，那么……. 所以……）獲得結(jié)論的合理性（具體推證過(guò)程是：假設(shè)四邊形是平行四邊形，那么其對(duì)角線必然互相平分，這與條件“對(duì)角線不互相平分”矛盾. 所以該四邊形不是平行四邊形）. 這些反例都有助于我們切實(shí)理解反證法的原生本質(zhì)和意義所在，為我們提供了反常規(guī)的思考方法.
五、 從“一般”到“特殊”和從“特殊”到“一般”的方法
矩形、菱形具備了平行四邊形的一般性質(zhì)外，還具有自身的特殊性質(zhì)（矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等；菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角）；正方形具有平行四邊形的一般性質(zhì)，還具有矩形和菱形的特殊性質(zhì). 事實(shí)上，特殊圖形具有一般圖形的性質(zhì)和它的特殊性質(zhì)，一個(gè)圖形越特殊，它的判定需要的條件就越多. 比如判定一個(gè)四邊形是正方形的方法可以是“對(duì)角線互相平分且相等且垂直的四邊形是正方形”，也可以是“四條邊相等且四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形”.
