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三角函數與解三角形
第九講
三角函數的概念、誘導公式與三角恒等變換
2019年
1.（2019北京文8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，
是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為
（A）4β+4cosβ
（B）4β+4sinβ
（C）2β+2cosβ
（D）2β+2sinβ
2.（全國Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=
A．
B．
C．
D．
3.（2019江蘇13）已知，則的值是
.
2010-2018年
一、選擇題
1．(2018全國卷Ⅰ)已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則
A．
B．
C．
D．
2．(2018全國卷Ⅲ)若，則
A．
B．
C．
D．
3．(2018北京)在平面坐標系中，，，，是圓上的四段弧（如圖），點在其中一段上，角以為始邊，為終邊，若，則所在的圓弧是
A．
B．
C．
D．
4．（2017新課標Ⅲ）已知，則=
A．
B．
C．
D．
5．（2017山東）已知，則
A．
B．
C．
D．
6．（2016年全國III卷）若，則=
A．
B．
C．
D．
7．（2015重慶）若，，則
A．
B．
C．
D．
8．（2015福建）若，且為第四象限角，則的值等于
A．
B．
C．
D．
9．（2014新課標1）若，則
A．
B．
C．
D．
10．（2014新課標1）設，，且，則
A．
B．
C．
D．
11．（2014江西）在中，內角A，B，C所對應的邊分別為若，則的值為
A．
B．
C．
D．
12．(2013新課標2)已知，則
A．
B．
C．
D．
13．（2013浙江）已知，則
A．
B．
C．
D．
14．（2012山東）若，，則
A．
B．
C．
D．
15．(2012江西)若，則tan2α=
A．?
B．
C．?
D．
16．（2011新課標）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=
A．
B．
C．
D．
17．（2011浙江）若，，，，則
A．
B．
C．
D．
18．（2010新課標）若，是第三象限的角，則
A．
B．
C．2
D．2
二、填空題
19．（2017新課標Ⅰ）已知，，則
=__________．
20．（2017北京）在平面直角坐標系中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sin=，則sin=_________．
21．（2017江蘇）若，則=
．
22．（2016年全國Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，則
.
23．（2015四川）已知，則的值是________．
24．（2015江蘇）已知，，則的值為_______．
25．（2014新課標2）函數的最大值為_______．
26．（2013新課標2）設為第二象限角，若
，則=_____.
27．（2013四川）設，，則的值是____________．
28．（2012江蘇）設為銳角，若，則的值為
．
三、解答題
29．（2018浙江）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點．
(1)求的值；
(2)若角滿足，求的值．
30．（2018江蘇）已知為銳角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
31．（2015廣東）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
32．(2014江蘇)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
33．（2014江西）已知函數為奇函數，且，其中．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
34．（2013廣東）已知函數．
(1)
求的值；
(2)
若，求．
35．（2013北京）已知函數
（1）求的最小正周期及最大值．
（2）若，且，求的值．
36．（2012廣東）已知函數，（其中，）的最小正周期為10．
(1)求的值；
(2)設，，，求的值．
專題四
三角函數與解三角形
第九講
三角函數的概念、誘導公式與三角恒等變換
答案部分
2019年
1.解析
由題意和題圖可知，當為優弧的中點時，陰影部分的面積取最大值，如圖所示，設圓心為，，.
此時陰影部分面積.故選B.
2.解析
由，得.
因為，所以.
由，得.故選B.
3.解析
由，得，
所以，解得或．
當時，，，
.
當時，，，
所以.
綜上，的值是．
2010-2018年
1．B【解析】由題意知，因為，所以，
，得，由題意知，所以．故選B．
2．B【解析】．故選B．
3．C【解析】設點的坐標為，利用三角函數可得，所以，．所以所在的圓弧是，故選C．
4．A【解析】由，兩邊平方得，所以，選A．
5．D【解析】由得，故選D．
6．D【解析】由，得，或，
，所以，故選D．
7．A【解析】．
8．D【解析】由，且為第四象限角，則，
則，故選D．
9．C【解析】知的終邊在第一象限或第三象限，此時與同號，
故，選C．
10．B【解析】由條件得，即，
得，又因為，，
所以，所以．
11．D【解析】=，，上式=．
12．A【解析】因為，
所以，選A.
13．C【解析】由，可得，進一步整理可得，解得或，
于是．
14．D【解析】由可得，
，，答案應選D。
另解：由及可得
，
而當時，結合選項即可得.答案應選D．
15．B【解析】分子分母同除得：，
16．B【解析】由角的終邊在直線上可得，，
．
17．C【解析】
，而，，
因此，，
則．
18．A【解析】，且是第三象限，，
．
19．【解析】由得
又，所以
因為，所以
因為．
20．【解析】與關于軸對稱，則
，
所以．
21．【解析】．
22．【解析】因為，所以
，因為為第四象限角，所以，
所以，
所以，
所以．
23．【解析】由已知可得，
＝．
24．3【解析】．
25．1【解析】
．，所以的最大值為1．
26．【解析】,可得，
，=．
27．【解析】，則，又，
則，．
28．【解析】因為為銳角，cos(=,sin(=，
sin2(
cos2(，所以sin(．
29．【解析】(1)由角的終邊過點得，
所以．
(2)由角的終邊過點得，
由得．
由得，
所以或．
30．【解析】(1)因為，，所以．
因為，所以，
因此，．
(2)因為為銳角，所以．
又因為，所以，
因此．
因為，所以，
因此，．
31．【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）
．
32．【解析】（1），
；
（2）
．
33．【解析】（1）因為是奇函數，而為偶函數，所以為奇函數，又得
所以，由，得，即
（2）由（1）得：因為，得又，所以因此
34．【解析】（1）
（2）
所以，
因此
35．【解析】：（1）
所以，最小正周期
當（），即（）時，
（2）因為，所以
因為，所以
所以，即
36．【解析】（1）．
（2）
關鍵詞：函數的極限 高職數學 教學
極限概念是微積分學最基本的概念之一，連續、導數、定積分等的定義都建立在極限概念的基礎上。極限的思想和方法貫穿在整個高等數學的始終，是人們研究許多問題的工具，是從學習初等數學順利過渡到學習高等數學所必須牢固掌握的內容。正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學好高等數學的關鍵，也是教學中的重點和難點。對高職學生來說，這一部分內容也是較難掌握的。若極限學得不扎實，必然會影響到整個高等數學的學習，因此準確地掌握極限概念，對于進一步研究函數導數、積分等具有非常重要的意義。筆者在高職數學函數和極限一章教學實踐中做了如下思考和探索。
一、做好與初等數學的銜接
初等數學研究對象基本上是不變量，而高等數學的微積分以函數、變量為主要研究對象。初等函數是連接初等數學與高等數學的紐帶，現行的高中數學課本采用新課程標準，函數的有些內容被刪去了，如反函數、三角函數中的余切、正割、余割及反三角函數。這些知識在高等數學中是必要的，因此在教學中筆者加入了這些知識的講授。
大多數高職學生對中學數學知識掌握并不牢固，所以筆者在教學中重視復習函數概念、基本初等函數及其性質，及時復習求函數極限中用到的數學公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等變換常用公式等，為后續的極限教學做好鋪墊。
二、創設情境引入極限概念
學生由初等數學轉入高等數學的學習，學習方法、思維習慣、認知理解上會出現諸多不適應。因此，筆者在引入極限概念時，利用AutoCAD軟件繪制正多邊形的功能來演示隨著圓內（外）接正多邊形邊數的不斷增加，正多邊形會越來越接近圓這一動態效果，使學生在具體情境中體會到這種無限的過程，使學生能夠深刻地理解極限思想的內涵。讓學生體會從“量變”到“質變”，從而真正理解極限這個概念。在教學上，我們用多媒體課件動態展示有關函數的圖形，幫助學生理解和觀察函數的左右逼近值，從而建立左右極限的概念。通過實踐“情境—問題—探究”這一教學方式，學生在學習過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準確、動與靜，培養學生的辯證思維能力。學生只有真正掌握了“極限”的動態實質，才能更好地理解和掌握導數和積分的概念。
三、精講極限概念中的關鍵詞
刻畫極限的語言高度概括抽象，復雜又邏輯結構嚴密。高職學生難以理解和接受。所以高職數學無需講解極限的定義，采用極限的描述性定義更符合高職學生的實際。在極限的描述性定義中有兩個關鍵詞，“無限接近”的含義就是“要多接近就有多接近”，“定義”就是對“要多接近就有多接近”的定量化。筆者在教學中利用多媒體課件展示函數動態圖形，分析一些典型變化趨勢，通過比較數值的變化及函數圖形解釋“要多接近就有多接近”，引導學生進一步探討自變量x“無限接近”x0的各種不同形式，使學生在圖形上對“無限接近”這種“動態”變化有一較清晰的認識，從而強化對極限概念的理解。
四、針對學生易犯的錯誤重點講解
學生在高中階段已初步學習過極限概念，但缺乏深入的理解，特別是對“無窮小”和“無窮大”更感難以理解。例如對“無窮大”的概念，很多學生認為它是一個無限大的常數，思想還停留在常量數學階段，而缺乏運動和變化的思想；相應地，將無限小的數就理解為“無窮小”。這樣學生就會出現把“無窮小”和“無窮大”當成一個數進行四則運算，極限的四則運算法則成立的前提是兩個函數的極限都存在，部分學生往往忽略這一點而造成錯誤。學生還經常忽視自變量的變化趨勢對函數極限的影響，分段函數在分界點的連續性是教學中的一個難點，學生對為什么要計算左右極限感到不解。分析其原因，問題往往出在對極限概念的理解上，對自變量的變化趨勢的理解不夠。對此，糾正以上錯誤對具體求函數極限的習題也會有很大幫助。
五、及時總結求極限的各種方法
學生學習函數極限這一章內容感覺較難的原因還在于極限的求法眾多，且靈活性強，不是每一種方法都適用于求任意函數的極限，面對各種題型學生往往束手無策。因此，在教學中我們很有必要對函數極限的各種求法加以歸納總結分類。在本章教學結束時，筆者針對求極限的各種方法集中上一次習題課，詳細總結各種求極限的方法，取得了較好的效果。
論文摘 要 高等數學與初等數學教材內容的有效銜接問題，是切實提高高等院校高等數學課程教學質量的關鍵問題之一。本文對高等數學與初等數學教材中有關“函數與極限”、“導數與微分”等內容及教學要求進行了比對，并給出了解決這些問題的一些建議。
經過調研了解到，2003年3月教育部頒發的《普通高級中學數學課程標準》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數學與大學數學的聯系，高中教材中安排了大學數學課程里的一些基本概念、基礎知識和思維方法。試圖從教學內容方面解決高中數學與大學數學的銜接問題。但是，大學數學與高中數學教材內容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學數學課程的教學質量，對大學新生盡快適應大學數學學習形成了障礙。高等數學與初等數學教材內容的有效銜接亟待解決。
1 “函數與極限”的銜接
函數，是高中數學的重點內容，高考要求較高，學生掌握也比較牢固。高等數學教材中的這部分內容基本相同，但內涵更豐富，難度也提高了。
（1）函數概念：在原有內容中，增加了幾個在高等數學中經常用到的實例，如取整函數、狄利克雷函數、黎曼函數、符號函數等。因此，在學習中，函數概念部分可以簡略，重點學習這幾個特殊函數即可。
（2）初等函數：反三角函數要求提高，新增加了“雙曲函數”和“反雙曲函數”等內容。反三角函數的概念在高中已學過，但高中對此內容要求較低，只要求學生會用反三角函數表示“非特殊角”即可。而高等函數中要求較高，此處在學習中應補充有關內容：在復習概念的基礎上，要求學生熟悉其圖像和性質，以達到靈活應用的目的。新增加的“雙曲函數”和“反雙曲函數”在高等數學中經常用到，故應特別注意。
（3）函數極限：“數列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數學重用的是“”定義，此處是學生在高等數學的學習中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學中應注意加強引導，避免影響函數極限后面內容的學習。新增內容“收斂數列的性質”雖是新增內容，但比較容易理解和掌握，教學正常安排即可。“極限四則運算”處增加了“兩個重要極限”，要加強有關內容的學習。
2 “導數與微分” 的銜接
高中新教材中的一元函數微積分的部分內容，是根據高等數學內容學習需要所添加，目的是加強高中數學與高等數學的聯系，讓中學生初步了解微積分的思想。
（1）導數的定義：高中數學和高等數學教材中，這一內容是相同的，不同的是學習要求。高中數學要求：了解導數概念的某些實際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的概念和導數的幾何意義；理解導函數的概念。也就是說，盡管極限與導數在高中已經學過，但主要是介紹概念和求法，對概念的深入理解不作要求。到了大學，概念上似懂非懂、不會靈活運用，成了夾生飯。但高等數學要求學生掌握并熟練應用，這是高等數學的一個重要內容，在此處應用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學中應給與足夠的重視。
（2）導數的運算：高中新課標教材要求較低：根據導數的定義會求簡單函數的導數；能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，會求簡單的復合函數導數。重點考察利用導數的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。
高等數學教學大綱對這部分內容要求：掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法；掌握初等函數的一、二階導數的求法，會求分段函數、隱函數、參數方程所確定的函數的一階、二階導數；了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數；了解微分的概念與四則運算。
建議：高中學過的僅僅是該內容的基礎，因此需重新學習已學過的內容，為本節后面更深更難的內容打好基礎。
（3）導數的應用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系，并通過實際的背景和具體應用事例引導學生經歷由函數增長到函數減少的過程，使學生了解函數的單調性，極值與導數的關系，要求結合函數圖像，知道函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求不超過三次的多項式函數的最大最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的應用。
高等數學對這部分內容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式，然后嚴格證明函數的單調性和曲線的凹凸性，給出函數的極值、最值的嚴格定義，及函數在一點取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎上，討論求最大最小值的應用問題，以及用導數描繪函數圖形的方法步驟。
建議：由以上分析比較可知，高中數學所涉及的一元微分學雖然內容差別不大，但內容體系框架有很大差異，高等數學知識更系統，邏輯更嚴謹。學習要求上，對于導數的幾何意義，導數的四則運算法則及簡單函數的一階導數，利用導數判斷函數單調性和求函數極值都是高中數學課程標準中要求的重點，是重點強化訓練的知識點。而在高等數學教學中建議一點而過，教學重點應放在用微分中值定理證明函數單調性的判定定理、函數極值點的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點等內容上。
以上主要分析比較了高中數學與高等數學的重復知識點。除此之外，二者之間以及高等數學與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。
3 高中數學與高等數學知識的“斷裂帶”
高考對平面解析幾何中的極坐標內容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學教材中，極坐標知識是作為已知知識直接應用的，如在一元函數微分學的應用中求曲率，以及定積分的應用中求平面圖形的面積等。建議在相應的地方補充講解極坐標知識。
初等數學與高等數學除了在教材內容上的銜接外，在學習思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學生剛開始學習高等數學，不能很好地銜接，教師在教學中要注意放慢速度，幫助學生熟悉高等數學教與學的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關系，在備課時，了解中學有關知識的地位與作用及與高等數學知識內在的密切聯系，對教材做恰當的處理；上課時教師要經常注意聯舊引新，運用類比，使學生在舊知識的基礎上獲得新知識。
總之，努力探索搞好初等數學和高等數學學習銜接問題，是學好高等數學的關鍵之一。
參考文獻
Qin Yufang；Zheng Xiaoqi
（①上海海洋大學信息學院，上海 201306；②上海師范大學數理學院，上海 200234）
（①College of Information Technology，Shanghai Ocean University，Shanghai 201306，China；
②Department of Mathematics，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）
摘要：復變函數主要研究復數域上的函數，是高等數學課程的延伸。本文闡述了復變函數和高等數學在理論體系上的異同，并強調其差異性。在復變函數的授課中，采用對比教學法，以加深學生對知識的理解，提高分析和解決問題的能力。
Abstract: Complex Analysis, which mainly studies the functions in the complex fields, is the extension of Advanced Mathematics. In the paper, we discuss the similarities and differences between Complex Analysis and Advanced Mathematics in theory, with an emphasis on the differences. In the courses of teaching, we exploit the comparative teaching, which intends to deepen the understanding the knowledge and improve the abilities to analyze and solve the problems.
關鍵詞：初等函數 解析函數 級數
Key words: elementary function；analytic function；series
中圖分類號：G42 文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）20-0234-02
0引言
復變函數是高等院校數學系和許多工科院系的一門專業基礎課，它不僅在數學的其它分支，如常微分方程、積分方程、概率論有著重要的應用，而且廣泛應用于其它科學領域，如理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學、自動控制學等。因此，如何學好復變函數這門課程是非常重要的。
復變函數主要利用微分、積分、級數展開等工具研究復數域上函數的性質。從這個意義上講，復變函數本質上是將實數域上的分析學推廣到復數域上，因此，學習復變函數課程既可以加深對各種分析學工具的理解，又可以培養學生利用這些工具研究和分析新問題的能力。
復變函數中“實數到復數”的推廣并非平凡的推廣，實數域上的函數、積分、微分等概念很容易被感知。然而，由于引入了虛數單位i，復數域上的相應概念很難形象地理解，例如函數圖像都很難在我們感知的空間中直觀地描述出來。并且，由于定義域擴充到復數域上，從而發展出柯西積分定理、最大模原理等優美的結論。因此，“指出聯系、強調區別，采用對比的方式教授相關內容”是復變函數教學的一個重要方法之一。本文將結合作者在分析領域多年的教學經驗，將復變函數與高等數學進行縱橫對比，分清異同，理解本質，希望給學習這門課的學生及任課老師一些借鑒。
1初等函數的定義和性質
在復變函數中，首先根據歐拉公式形式地給出了復數域上指數函數的概念，然后利用指數函數定義了冪函數，三角函數，反三角函數，雙曲函數和反雙曲函數等初等函數。無論從定義的方式和概念的形式，都與高等數學中實數域上的初等函數存在很大的不同，但是，當復數域上初等函數的定義域限制到實數域時，就是實數域上對應的初等函數。在性質方面，兩者呈現出許多相異的地方[1]。例如：①復數域上的對數函數、冪函數、反三角函數和反雙曲函數均為多值函數，這一點增加了復變函數研究的復雜性和難度；②復數域上的指數函數是以2πi為基本周期的函數；③復數域上的正弦函數和余弦函數在定義域上是無界的。
除了強調復變函數中某些概念及其性質呈現出的差異這些知識點外，在教學中還應使學生明確概念推廣所遵循的一些基本原則。一方面，概念的推廣必須滿足相容性，例如當復數域上函數限制到實數域時，必須與實函數的一切性質相吻合。另一方面，概念推廣要盡可能保持原對象的性質，尤其是運算性質。以三角函數為例，它在復數域上是無界的，但限制在實數域上就是高等數學中研究的三
角函數，而且，三角恒等式如和差化積、積化和差、二倍角、半角公式也都是成立的。課堂上，引導學生對比復數域和實數域上的概念，分析從實”到“復”變化中的異同，使得學生在學習的過程中不斷地思考，從而加深對概念本質的理解，并激發探求新知識的積極性。
2分析學工具的比較
復變函數中的基本概念如極限、連續、導數、積分以及級數，與高等數學中的定義方式完全一致。例如，極限均是采用“ε-δ”語言來定義的，積分是采用分割、近似代替、求和、取極限來定義的。由于定義方式完全相同，它們的運算性質是一致的。此外，由于一個復函數可以等價地由實部和虛部兩個二元實函數來刻畫，因此復函數的極限存在性、連續性等與其實部、虛部兩個二元實函數的極限存在性、連續性等價。然而可微性是個例外，復函數的可微性不僅要求實部、虛部兩個二元實函數是可微的，還要求它們的偏導數滿足一個條件――柯西黎曼方程（C.-R.方程）。由于滿足了較為苛刻的條件，可微的復變函數具有更好的性質，人們單獨對這類函數進行研究，即復變函數中的一個重要研究對象―解析函數。
泰勒展開是研究函數性質的一個重要工具。高等數學中對一個實函數進行泰勒展開的條件是[2]，f（x）在區域x-x■
在教學中，引導學生比較高等數學和復變函數中極限、連續、可導等概念的異同點，這樣既能夯實高等數學的基礎，又能在學習復變函數時達到事半功倍的效果，從而實現縱向層次上的對比教學。
3可導與解析的關系
解析是比可導更強的一個概念，復函數在一點處解析，不僅要求在該點可導，還要求在該點的鄰域內可導。因此，復函數在某點解析，一定可導，但反之不一定成立。在定義域的每點都解析的函數稱為解析函數。解析函數具有一個非常好的性質，即無窮階可導性，因此解析函數可以利用泰勒展開定理和洛朗展開定理來研究自身的性質。利用泰勒展開式，人們研究解析函數的零點的分類，并推導出解析函數零點必孤立和唯一性定理、最大模原理等結論；利用函數的洛朗展開式，人們研究解析函數孤立奇點的分類，并為著名的留數定理奠定了理論基礎；另外，這兩類級數是微分方程中冪級數解法的理論基礎。
在教學中，引導學生分析復變函數中概念之間的相似之處與差異，例如解析和可導、泰勒級數和洛朗級數等，使得學生在掌握新概念的同時領悟概念間的內在聯系，從而實現橫向層次上的對比教學。
4導數、積分與級數的關系
在復變函數中，泰勒展開定理的內容如下[3]：若f（z）在圓域D：z-z■
同樣，洛朗展開定理將洛朗級數、導數和積分聯系在一起。特別的，洛朗級數中（z-z■）■項的系數具有重要的地位，這個系數被定義為孤立奇點的留數。留數是復變函數中的一個重要概念，留數方法已成為計算復變函數中積分的一個重要工具，并且留數方法還可以計算被積函數的原函數不能用初等函數表示的實積分，此外，在流體力學、彈性力學的應用中發揮了重要作用。
5柯西積分定理和格林公式的關系
柯西積分定理是復變函數理論中最重要的定理之一，在研究解析理論中起著關鍵性的作用。根據柯西積分定理[4]，設f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析，C為區域內任意一條有向簡單閉曲線，則∮■f（z）dz=0，在講解這個定理時，引導學生進行如下思考：高等數學里是否有對應的定理？
下面我們看一下高等數學中的格林公式。設函數P（x，y），Q（x，y）在區域D內具有一階連續偏導數，C為區域內任意一條有向分段光滑閉曲線，則∮■ Pdx+Qdy=■■-■dxdy，其中D0為C所圍成的區域[2]。 從形式上看，似乎沒有聯系。實際上，根據f（z）的解析性質，它一定滿足柯西-黎曼條件，即■=■，■=-■，所以
∮Cf（z）dz=∮■udx-vdy+i∮■vdx+udy
=■-■-■dxdy+i■■-■dxdy=0，
其中D0為C所圍成的區域。從而柯西積分定理可以看成是格林公式在復變函數中的推廣。
在教學過程中，除了講解課本上的已知結論，還鼓勵學生多思考，開拓創新思維，這樣學生不僅理解知識的本質，還可以享受到創新的快樂，激發學習的熱情和積極性。
總之，與高等數學相比，復變函數研究的內容和分析問題的方法有很多內在的聯系與區別。因此在教學中采用對比教學法，比較和探究復變函數和高等數學的異同，加深學生對知識的理解，提高分析問題和解決問題的能力。
參考文獻：
[1]焦紅偉,尹景本.復變函數與積分變換[M].北京:北京大學出版社,2007.
[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.
辨析題高等數學作用在我國高等教學中，學生們在做題中經常會發現具有很多概念問題，定理的條件或者結論問題，還有不能解決的公式問題等一些在高等領域中，具有深刻意義的數學問題。這些問題的出現也是在高等教育學校里，跟高等學校的老師和教材有關。所以，在高等教育學校的老師對高等教育教學方法進行修改，甚至對高等教育學校的教學教材進行改編。我們就會發現在高等數學中，學生們對部分的定理條件或者結論時就會懂得怎樣去解決。對于解決這些難題，學生們應該歸納總結出那些問題的難點，提出那些經過精心準備的辨析題進行思考和分析。這樣才能讓學生們去單獨思考和發揮思維，去建立正確的概念和定理，從而解決這些加深概念的難題。
一、加強學生們對數學概念和定理的正確理解
1.概念，例如在數列中的極限是一個抽象而且難懂的一項概念，高等學校的學生們很難正確理解數列中的極限是什么概念。
例如，辨析題：意思就是當ε
2.高等數學中，很多公式可以計算某些積分數據，但是計算過程是很復雜的。例如：可以用來計算積分，但是計算積分的條件必須讓學生清楚這種格式在應用計算積分中是很少用上的，我們要想知道是不是可以用來進行等量代換，可以得出還可以推出，做到這一步了，其實可以直接得出，在這些辨析題中，可以讓學生知道：在函數進行代換的時候，在[-1，1]上無意義的點t=0。最后才讓學生知道原來這些辨析題不能進行變量代換公式，才能真正了解這些公式在條件中的作用。
3.在積分區間，根據積分的變量反映了積分的正負關系，所以在積函數中也會有形成因子時，有的時候也會變成，還有是會變成在積分區間劃分為兩個不同的公式，分別是。但是在高等數學中，很多數學對函數的積分概念理解不清楚，經常導致出現計算錯誤或者利用公式不對，從而導致計算出來的結果與答案完全不同，具有很大的誤差。
例如，我們看下面的計算發生錯誤的地方：其實學生們都知道所以，我們明顯的知道，這個公式的計算是錯誤的。但是通過這個高等數學的辨析題我們知道：
所以，我們才知道在計算積分時，我們不但可以改正計算積分的錯誤算法，還可以探討出更加好的運算原理和新公式，得出更加方便和快捷的計算方法。以上的幾個例子足以證明，在高等數學中，老師出辨析題對學生們的作用和提升了，只要同學們積極去思考和努力去計算，就可以解決一切計算的困難，這樣才能真正應用概念和定理的作用。
二、加強知識溝通與開發
在多元函數中當f（p）在某一點p上時，偏導數存在，但是當f（p）在點p連續時，成立在點p上的充分條件。在高等數學中，一元函數和多元函數在偏導數的存在與否具有不同之處，在我國高等數學教材中給出的是：這樣可以說明，多元函數在某一點上的偏導數就會存在，而當一元函數不連續時偏導數就不存在。這樣的例子并不是想說明函數需要在某一點上連續或者說明函數必須在某一點上存在偏導數。我們可以看辨析題知道：例題1：已知一個函數在點f上當x與y都等于0時，求它們在點（0，0）上是否存在？而且看f（x，y）在點（0，0）是否連續？從這個例子我們可以得出什么規律或者原理？
這個辨析題不僅給高等數學中的學生帶來了分析還給學生們總結了一個原理，那就是多元函數在某一點偏導數存在而函數不連續的情況確實存在，而且我們可以看出在幾何圖像中顯出點（0，0）偏導數存在，知識描述了f（x，y）在圖中的性態，其實不能真正在點（0，0）上連續存在偏導數。在不同的函數領域里，一定有f（x，y）-f（0，0）=1的某一點。所以，這種題目給高等數學學校的學生開拓了大腦思維，從而進入了更加深層的思考問題的范圍之內了。
經過上面的例子分析和計算，我們可以知道為什么選擇辨析題來給學生們進行理解和思考。這樣不僅可以提高學生在理解課程知識的進步，還能對學生們所學到的知識進行鞏固和延伸。
所以，在高等教育學校，我們應該做好辨析題分析，才能讓學生們在辨析題中有提高和進步的空間。但是，在我國高等數學中，教好辨析題的做法與分析不是一件容易之事啊。老師必須在上課之前做好課前備課，課堂與同學們進行討論和研究。同時有了老師積極付出，應該還少不了同學們的積極配合，這樣才能有效提高高等數學中辨析題的作用，下面我們對辨析題的優點進行了總結以下幾點：
1.做辨析題是同學們在做高等數學題中的一種題型之一，高等數學題還包括計算題、函數題、證明題、應用題等各種題型。而辨析題的作用主要可以讓學生們對老師所講的知識進行鞏固和延伸，從而進一步讓知識更加廣。
2.解答辨析題，主要是應用老師教的辨析解題法。能真正解答辨析題的學生必須是經過了思考和積極思維去做出來的，因為辨析題很需要學生去探索和積極思維，才能更快地解決辨析題，鍛煉解決辨析題，可以鍛煉學生靈活利用數學知識和公式，從而對解決辨析題具有重大的作用。
3.解決辨析題，不僅僅是機械記憶的一種方法還是概念與定理的一種記憶，但是僅僅利用老師所教的概念與定理遠遠不夠用來解決辨析題，所以，學生們還要積極對高等數學教材進行鉆研和探討，才能讓以后的學習數學更容易。
三、結語
高等數學中的辨析題對學生們進行開拓思維和積極延伸所學知識具有重要的作用。還可以為學生們以后解決高等數學的其他題型。
參考文獻：
[1]張劍平.現代教育技術理論與應用[M].北京：高等教育出版社，2008.
關鍵詞 同濟六版 高等數學 符號 概念 解題方法 注記
中圖分類號：G642 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.01.021
同濟六版《高等數學》是一部經典的工科類本科數學基礎課程教學的教材，適合當前我國各類高校工科類本科專業根據不同的教學要求分層次教學的需要。但是，再完美的教材鑒于作者的認知方式也有不盡如人意的地方。概念、符號、解題方法對于高等數學來說是精髓，是靈魂，本文就同濟六版《高等數學》的幾個問題做了注記，以資借鑒和提高。
1 幾個基本概念、符號的說明
對高等數學課而言，學生要想把它學好、學精，離不開對一些基本概念的理解和一些符號的準確掌握，尤其對于初學者。所以，作為教師就要在授課時對學生正確引導，注意區分，多加強調。
1.1 單側極限、單側導數及導數的單側極限的符號
同濟六版《高等數學》第一章第三節（P34）給了單側極限概念，把左、右極限分別記作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一節（P83）給了單側導數概念，把左、右導數分別記作（） = 、（） = ；按照上面這兩種記法，不難想象（）、（）分別表示的就應該是函數 （）的導函數 （）在點處的左、右極限，也就說有（） = （）、（） = （）。
這里以為例說明這些符號的不同。 （）、（）、（）分別代表的就是函數 （）在處的右極限、右導數及導數的右極限，其中（）還蘊含函數 （）在的右鄰域（， + ）內每一點可導。雖然其符號極其相似，但這三個是完全不同的概念，不能混為一談，尤其要引導學生正確書寫和理解不同符號的含義，特別是對于后兩者，很多高等數學的初學者在解題的時候誤認為（） = （） = （），求分段函數在其分支界點處的導數時，用這種方法可能會導致計算結果的錯誤。比如下面這一問題，設，則（0）= = = 0，當≠0時，（） = 2，而（2）不存在，就是（）沒有意義，所以說（）與 （）之間一般不存在相互關系，不要錯誤利用來解題。
同濟六版《高等數學》第二章第一節（P87）給了這樣一道習題：
設函數，為了使函數 （）在 = 1處連續且可導，、應取什么值？
常規的解法應該是： （）在 = 1處連續，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1處可導有 （1） = （1），即 = = ，從而 = 2， = 。
值得一提的是，很多學生在做作業的時候關于 （）在 = 1處的可導性條件是這么用的：當≤1時， （） = ，當>1時， （） = ，由條件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，從而 = 2， = 。很多老師在批改作業的時候就認為學生的這種做法是錯誤的，事實上王金金，任春麗在文獻[3]中已經證明：設函數 （）在[， + ]上連續，在（， + ）內可導，且 （） = 存在，則函數 （）在點處的右導數（）存在，且有（） = （） = （）。
所以，盡管（）與 （）是不同的概念，但是在一定條件下它們之間有聯系，既要引導學生正確區別，同時不要不假思索地給學生的作業判錯，要引以為戒。
1.2 函數微分學的一些符號
同濟六版《高等數學》第二章第三節（P99）給了高階導數的概念，以二階導數為例：
一般的，函數 = （）的導數 = （）仍然是的函數。我們把 = （）的導數叫做函數 = （）的二階導數，記作或，即 = 或 = （）。
其中符號 = = ；表示的二階微分，即是對微分兩次（ = 0）；表示對微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含義，不能混淆，尤其是 = 與≠。比如像有的教材上給出如下的習題：
設 = ，求，，，。
像上述例題中的表達式，就不準確，誤認為 = 與 = 。
1.3 最值與極值的定義
同濟六版《高等數學》第一章第十節（P70）給了函數最值的概念：
對于在區間上有定義的函數 （），如果有，使得對于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），則稱 （）是函數 （）在區間上的最大值（最小值）。
第三章第五節（P154）給出了函數極值的概念：
設函數 （）在點的某鄰域（）內有定義，如果對于去心鄰域內的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就稱 （）是函數 （）的一個極大值（或極小值）。
上述兩個概念是有很大不同的。首先，最值是定義在函數有意義的某個區間上，是一個全局性的概念，而極值是定義在函數有意義的某點的某鄰域范圍內，是一個局部性的概念；其次，最值的定義中“對于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而極值的定義中“對于去心鄰域內的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是嚴格大于或者小于 （）；比如定義在區間[0，2]的常數函數 = 1，在區間[0，2]上能取到最值，區間[0，2]上的每個點都是最值點，但是此函數在區間[0，2]上取不到極值；第三，極值一定是局部的最值，最值卻不一定是極值，極值只能在區間內部取到，而最值可以在區間端點取到。
2 函數的極限的講解方法
從數列極限到函數極限，同濟六版《高等數學》是先介紹自變量趨于有限值時函數的極限，而后介紹自變量趨于無窮大時函數的極限。為了增強對比學習的效果，比照 = 0讓學生討論，從數列極限過渡到時函數極限，接著引出、時函數極限的概念，比如可以從 （） = 的圖像出發，啟發學生類似時函數極限討論時函數極限，以具體實例引出單側極限的概念，從而實現從數列極限到函數極限的自然過渡。
3 常系數非齊次線性微分方程求特解
同濟六版《高等數學》第七章第八節（P341）給出了二階常系數非齊次線性微分方程 + + = （），當 （） = 時不用積分就可求出方程特解的待定系數法。
設 = （），帶入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。當是特征方程 + + = 0的單根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此時（）必須是次多項式，教材上說“可令（） = （）”。很明顯，（）與（）是不同的，二者相差一個常數，不影響最終的結果嗎？事實上，當是特征方程 + + = 0的單根時，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一項（ + + ）（）不起作用，同時（）比（）多出來的那個常數在求導的過程中不影響導數的結果，也就是說令（） = （）或者令（） = （）都能滿足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系數時還少求解一個系數，何樂而不為？當是特征方程 + + = 0的重根時，可令（） = （），是一樣的道理。這一點作為教師必須得清楚。
4 高斯公式的應用中一道例題的解法
同濟六版《高等數學》第十一章第六節（P231）例1：
利用高斯公式計算曲面積分（） + （），其中為柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所圍成的空間閉區域 的整個邊界曲面的外側（如圖1）。
教材上利用高斯公式把曲面積分（） + （）轉化成了（），接下來的計算完全可以發散開來讓學生去想怎么求，因為三重積分的計算他們已經學過并且很熟悉。按照慣常的思維，最直接的解法是把上面的三重積分化成直角坐標下的三次積分，不過不難發現積分區域 在坐標平面上的投影是圓域，所以也可以按照書上把其化成柱面坐標下的三次積分（），同時這個三重積分的計算還可以進一步延伸利用對稱性和截面法轉化為 = = 。
數學被譽為鍛煉思維的體操和人類智慧之冠上最明亮的寶石，高等數學更是很多理工科學科進一步學習的基礎，所以在備課的時候做充分的準備，而授課時盡可能以一種比較易于為學生接受的思維和方式來展開是很有必要的。同濟六版《高等數學》雖然很經典，但是在一些細節處理上還是可以改進的，其中一些沒有點明，被作者略去的內容還是需要教師在授課的時候講到的，最起碼是自己備課的時候應該用心想過的。當然，仁者見仁智者見智，畢竟從學生的實際出發、切合不同專業的需要才是最根本的。
參考文獻
[1] 同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
【關鍵詞】工程數學；復變函數；積分變換；教學方法
工程數學是高等數學的后續課程，是一門重要的工科專業必修課。它不僅在數學的其他分支，如常微分方程、積分方程，有著重要的應用，還在其他科學領域有著廣泛的應用，如理論物理、流體力學等。
我校是醫學院校，針對我校生物醫學工程專業，我們在學生大二第一學期開設了工程數學這門課程，是一門必不可少的專業基礎類必修課程。它為電工與電路分析、模擬電子技術、信號與系統等后續專業專業課學習提供了必要的數學工具，在整個課程體系中占有舉足輕重的地位和作用。因此，如何學好工程數學這門課程是非常重要的。我校工程數學計劃54學時，包括復變函數和積分變換，學時少，內容多。在教學過程中，學生也時常反應概念難懂、方法不易掌握、習題難做，容易與高等數學的知識點混淆。對此，本文結合實際授課經驗和我校工程數學這門課程教學改革，淺談教學過程中遇到的一些問題和對一些知識點的處理建議。
工程數學和高等數學既有區別又有聯系。它們的研究對象都是函數，研究主線都是通過變量研究函數，從而定義極限，利用極限去研究函數的連續、導數、積分。兩者的差異在于工程數學研究的函數是復變函數，高等數學研究的函數是實變函數。從實變函數到復變函數，函數的定義域與值域從實數域擴大到復數域。因此，復變函數是實變函數理論的延續和拓展，兩者的區別和聯系貫穿教學的始終，在教學過程中，通過類比的方式，利用高等數學的知識，理解復變函數與實變函數的區別。例如，對許多基本概念及定義進行理解時，使用類比法多做對比，找出相似點與不同點，加深對這些概念的理解。
1 復數的定義
一般稱（其中，x，y是實數）是一個復數。但這個概念的本質是什么呢？類似實數可用直線上的點來表示，一個復數由一對有序實數（x，y）唯一確定，當建立直角坐標系后，平面xoy上的任意一點P（x，y）可以按照一定規則與一對有序實數（x，y）建立一一對應的關系，也可以和起點為原點，終點為P的向量建立一一對應的關系。因此，從幾何角度理解，復數可以用點P或者向量來表示，也可以說復數是向量的另外一種表示方式。因此，復數的本質應該是向量，而不是“數”。“數”的本質特性是可以比較大小的，因此，可以從這個角度不難理解，復數為什么不能比較大小了。
2 復變函數的定義
復變函數是一元實變函數的直接推廣，它的定義與一元實函數的定義形式完全相同，但是復變函數的自變量和因變量都取自復數，其與兩個二元實變函數相對應，因此，復變函數在幾何上就可以看成是z平面上的一個點集G到平面上一個點集的映射。因而，無法用直觀的圖形來表示函數關系，若要直角坐標系畫出，需要四維空間，而一元實變函數在幾何上表示的是一條平面曲線。這是復變函數與實變函數定義上的一個不同。在向學生講解復變函數的幾何特性時，可以從簡單的例子出發，例如，函數可以先介紹點與點的對應，然后是點集與點集的對應，如Z平面上的曲線在該函數作用下的圖像。復變函數與實變函數另外一個不同在于復變函數可以是多值函數，例如，開方函數可以將Z平面上的一點映射為平面上的兩個點。
3 復變函數的極限與連續
復變函數與一元實變函數的極限、連續在定義形式上相似，許多基本性質與運算法則也相同，但本質上與二元實變函數一致。定理證明[1-2]，一個復變函數的極限存在充要條件是它的實部函數與虛部函數的極限都存在；一個復變函數在某一點連續充要條件是它的實部函數與虛部函數在點是連續的。因此，研究復變函數的極限和連續等問題可以轉化為兩個二元實變函數的極限與連續問題。其次，復變函數中自變量的變化趨勢與實變函數的自變量的變化趨勢也有所不同，復變函數中自變量的變化趨勢指的是以任何方式任何路徑區域，不僅僅是左右兩個方向趨于，而實變函數的自變量的變化趨勢是指從左右兩個方向趨于。因此，復變函數的極限要求更高、更嚴格。而連續是基于極限這個基礎的，所以復變函數連續也要比實變函數連續要求更高。
4 解析函數
解析函數是復變函數的一個重要研究對象。函數解析是比可導（可微）更強的一個概念，復變函數在一點處解析，不僅要求在該點可導，還要求在該點的領域內可導。因此，復變函數在一點解析，一定是可導的，反之，不一定成立。在區域D內每點都解析的函數稱為區域D上的解析函數。判斷復變函數在某一點可導的充要條件是它的實部函數和虛部函數在這一點可導，且滿足柯西-黎曼方程。要判斷函數在這一點的解析性，一般只能通過定義。其次，要判斷一個復變函數在區域D內的充要條件是它的實部函數和虛部函數在區域D內可導且在區域D內滿足柯西-黎曼方程。這里主要利用了開區域的定義，因為開區域每個點都是其內點，故若函數在開區域D內處處可導，則在D內處處滿足上述兩個條件。因此，對于D內任意一點，必存在該點的一個鄰域，使得函數在該鄰域內處處可導。故由函數解析的定義可得，函數在區域D內的每一點處解析。
5 復變函數的積分
從形式上看，復變函數的積分是實變函數定積分的一種自然推廣。但其本質上是復平面上的，它可以與二元實函數的線積分聯系在一起。相對應就有了柯西-古薩基本定理，在此基礎上，得到了一系列推廣定理如：復合閉路定理、閉路變形原理等。柯西積分公式的證明基于柯西-古薩定理。其重要性在于解析函數在區域內部的值可以通過其在邊界上的值通過積分得到。
綜上所述，工程數學中蘊含了豐富的數學方法，特別是類比的數學方法。工程數學中很多問題可以通過一定的技巧轉化為高等數學的問題，很多的結論可以通過與高等數學的知識類比得到。但是，它們在概念上也有一定的差異，因此，在教學過程中，要注重與高等數學知識銜接，比較和探究它們的異同，概括它們的原理，使得學生在掌握新概念的同時，領悟概念間的內在聯系，從而加深學生對知識的理解，提高分析問題和解決問題的能力。
【參考文獻】
[1]王錦森.復變函數[M].1版.北京：高等教育出版社，2008.
[2]鐘玉泉.復變函數輪[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.
[3]熊春連，陳翠玲，段華貴.工科復變函數中的遷移教學[J].大學數學，2010，26（2）：203-206.
關鍵詞：函數零點；數學思想；中學數學；大學數學
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）01-0392-02
1.引言
德國數學家F.克萊因認為：教師應具備較高的數學觀點，基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單。函數零點問題涉及化歸、分類討論、數形結合、函數與方程等重要的數學思想，且很多學生一直都有"恐函癥"，一見"任意""存在"等字眼就發懵，因此，盡管這個命題只有寥寥數語但也帶給學生不少困惑。另外，《數學分析》也對該函數零點問題進行了延續，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、數列致密性定理等都與它有千絲萬縷的關系。本文從函數零點的概念延伸、函數零點的求解方法及導函數的零點問題對函數零點的幾種應用類型進行比較，并進一步闡述函數零點問題在中學數學與大學數學中的聯系。
2.零點概念性質的延伸
定義1[1]（函數零點） 對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點。
同時，關于函數零點，我們有如下幾個等價條件[1]：函數y=f（x）有零點方程f（x）=0有實數根函數y=f（x）的圖像與x軸有交點。
這個概念本身就已經結合了函數與方程的思想，而《高等代數》[2] 又賦予了這個概念新的解釋：f（λ）=|A-λE|為A的特征多項式，則特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是說矩陣的特征值就是其特征多項式的零點，這就將零點應用拓寬到了矩陣領域。
另外，《數學1》[3]中還給出了一個結論，延伸到《數學分析》[7]里，我們把它稱作函數零點存在定理： 如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）.f（b）
這個定理看起來非常易理解，但卻包含了三個條件：⑴閉區間連續；⑵端點函數值互異；⑶開區間有零點。實際上是數學分析中介值定理的下放。而在此基礎上也可以推導出零點個數的判定定理，加深對零點個數問題的理解。
定理1[4] 如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，設f（a）.f（b）≠0，則當f（a）和f（b）同號時，f（x）在區間（a，b）內包含偶數個零點；則當f（a）和f（b）異號時，f（x）在區間（a，b）內包含奇數個零點。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。這個c也就是方程f（x）=0的根。
此外，我們在解方程時有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的時候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中階段往往被作為零碎的方法或概念去解決某一類問題，而從零點角度，則可以統一概括為：解析函數的一個零點是否導致符號變更（是否為一"交叉點"），按此零點重數是奇數或偶數來定。而符號變更這一概念不止在解析函數適用，在非解析函數仍然適用。有了這些高等數學的理論和概念作為支撐，在高中函數零點的教學過程中，就可以滲透更為精確的概念和表述，提升數學素養。
3.中學與大學函數零點問題的對比和討論
中學與大學函數零點問題主要歸結于在函數零點概念性質的延伸的背景下，通過對中學與大學用不同知識點來解決函數零點問題的幾種應用類型進行比較，并進一步闡述其在中學數學與大學數學中的聯系。
3.1 二分法與區間套定理。在中學數學現有的各版本高中教材中，均給出了利用二分法求零點近似解方法。然而在大學數學中，利用區間套定理求解函數零點問題，這是二分法在大學數學中的直接延拓，更是新課改下，大學知識簡化進入中學教材的典例。
例2 利用區間套定理證明零點存在定理。
證明 由區間套定理知：
1.進行若干次等分后，某分點cn處函數值f（cn）=0此時取ξ=c即可
通過對比，我們發現無論是區間套定理還是二分法，都是通過將相應區間的兩個端點逐步逼近得到相應的點，只是區間套定理相對于二分法求零點的一個最大突破就是加入了極限的概念，另二分法當中的精確度ε0，從而使近似值趨于精確值，得到了質的飛躍。當然，盡管二分法在區間套的選取當中仍然扮演重要角色，但區間套定理不僅限于此，不只是滿足即可，這也是從形式上對二分法的一種提升。另外，區間套定理中加入的唯一性的證明，則進一步體現了數學的嚴謹性和準確性。由此，我們也可以發現中學與大學數學的緊密聯系，可以看出函數零點在高等數學教育中的基礎作用。對函數零點定理的掌握可以幫助學生更好地學習實數完備性理論，一步步從區間套定理到聚點定理、有限覆蓋定理等更高深的理論，從而提升其數學修養。
3.2 導函數零點問題--極值與羅爾定理。高中數學中的導函數零點問題，一直是高考當中的重點，源于它能將各大基本函數（這里指指數函數，對數函數，冪函數，三角函數等基本初等函數）的圖像和性質融為一體。便于考查學生綜合解題能力以及對知識點的靈活應用。其主要涉及函數的極值問題，是高中數學的一塊重要內容（重慶高考卷一般會考查"一大一小"）。
將函數零點轉化為某函數導數的零點則是對這一問題的逆用，是《數學分析》中的羅爾定理在高中數學的基礎上，從微分到積分的跨越。
例3 （改編自2012年高考數學湖北卷文科第三題） 證明：函數在 上至少有四個零點。
分析：如果直接從函數零點定理著手，這個問題較有難度，因此可以將所求函數零點問題轉化為導函數零點問題，構造出羅爾定理中的函數。
關鍵詞: 邊疆預科學生 極限概念教學 教學難點
數列、函數極限的概念是高等數學中最基本、最重要的概念之一.導數、微分、不定積分等基本概念都建立在這一概念的基礎上.函數極限的概念是學習高等數學首先遇到的較難理解的概念，正確理解、掌握函數極限的一系列概念是學好高等數學的關鍵.新疆、籍學生，受母語影響較大，因此對極限概念的理解難度也較大.認真研究、深入探討函數極限概念的教學良策是確保高等數學教學質量的前提.本文在分析教學難點的基礎上，從引導學生正確理解函數極限定義入手，給出突破難點的一些教學方法.
1.數列極限概念的教學難點
（1）給出一批有極限的數列，考察這些具體的數列的變化趨勢，分析歸納出它們的共同本質――通項無限接近某個常數A（盡管方式不同），再給出一些沒有極限的發散數列，它們不具有上述特性，即不能與任一實數無限接近，從中得出用普通語言敘述的收斂概念:給定數列{u}，如果當n充分大時，u無限接近某個常數A，則稱A為數列{u}的極限，稱{u}為收斂數列，否則，稱{u}為發散數列.
（2）啟發學生考慮如何用數學語言精確地描述“充分大”，“接近”，“無限接近”等變化過程，尤其是“無限接近”這一動態變化的數學描述，可充分利用數軸、絕對值，距離等工具，在此基礎上提出用“ε-N極限”語方來精確描述極限過程和收斂概念:對于任意給定的正數ε（不管它多么小），總存在一個正整數N，當n＞N時，恒有|u-A|＜ε，則常數A叫做數列{u}當n趨向于無窮時的極限.或說數列收斂于A.記作：u=A，或uA（n∞）.此時，稱數列{u}為收斂數列，否則稱{u}為發散數列.
在這一階段中，主要是通過記憶和模仿以代償思維能力的不足，達到對極限概念的初步認識.
2.函數極限概念的教學難點
（1）基本概念.
定義1：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＞M時，有|f（x）-A|＜ε，
則常數A為函數f（x）當x+∞的極限.記作：f（x）=A.
定義2：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＜-M時，有|f（x）-A|＜ε，
則常數A為函數f（x）當x-∞的極限.記作：f（x）=A.
定義3：如果對于?坌ε＞0，總總?堝N＞0，當|x|＞N時，有|f（x）-A|＜ε，
則常數A為函數f（x）當x∞的極限.記作：f（x）=A.
定義4：函數f（x）在x點附近（但可能除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜|x-x|＜δ（x∈U（x，δ））時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當xx的極限，
記作：f（x）=A.
定義5：函數f（x）在［x，x+δ）（也有可能要除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜x-x＜δ時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當xx的右極限，
記作：f（x）=A或f（x+0）=A（當xx）或f（x）A（當xx）.
定義6：函數f（x）在（x-δ，x］（也有可能要除掉點x本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當-δ＜x-x＜0時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當xx的左極限，
記作：f（x）=A或f（x-0）=A（當xx）或f（x）A（當xx）.
f（x）=A的幾何意義如下:
對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在x的一個δ鄰域（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
f（x）=A的幾何意義如下：
對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A，y=A+ε，總存在x的一個δ鄰域（x，x+δ）（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
f（x）=A的幾何意義如下:
對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A-ε，y=A，總存在x的一個δ鄰域（x-δ，x）（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
f（x）=A的幾何意義如下：
對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在一個區間［-M，M］，在此區間內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
（2）在極限概念教學過程中，應把握從具體到一般原則.
極限定義難以理解、掌握的原因在于:定義中涉及“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等比較抽象的術語.定義的敘述繁長、文字符號很多，如ε、δ、M等，且它們之間的數量關系錯綜復雜，學生難以掌握.對ε的作用和任意性、給定性，以及ε和N、M、δ間的依賴性，學生不易搞清，對“ε-δ”、“ε-M”極限語言容易混淆.
抽象性思維能力是分析問題和解決問題能力中最重要的部分，是數學本身“高度抽象性與應用廣泛性”辯證統一的必然結果.抽象思維能力的培養是發展創造性思維的前提.由具體到抽象是人們認識事物比較普遍的思維過程，而具體如何飛躍到抽象呢?一般步驟是，提出問題，誘發思考，讓學生逐步領會把實際問題抽象為數學問題的思路和方法，引導學生把問題的特征、本質抽象出來，加以綜合概括.
3.克服教學難點的方法
為了克服以上教學難點，我們可從以下幾點入手.
（1）正確運用“ε-N”“ε-X”“ε-δ”三種語言.對于這三種語言，有的同學提出什么時候應用哪種語言搞不清，其實搞明白以下兩個問題，這個難點就會迎刃而解.
①“ε-N”語言用于數列極限，求解過程是對于任意給定的ε，通過不等式|μn-A|＜ε找到正整數N;而“ε-X”或“ε-δ”適用于函數極限，對于任意給定的ε＞0，通過不等式|f（x）-A|＜ε找到正數δ或X.
②“ε-X”和“ε-δ”語言的區別在于自變量x的變化趨勢不同.前者適用于x∞時的函數極限情形，后者適用于xx時的函數極限情形.
（2）講清極限定義中“ε”的任意性、給定性及其對N、X、δ的依賴性，從而刻畫ε的作用，在極限定義中有“如果對于任意給定的正數ε”這一句話，很多學生不理解，為什么ε是任意的而同時又是給定的呢?因為只有ε是任意的，不等式|f（x）-A|＜ε才能刻畫出函數f（x）與常數A無限接近的意思;而ε又是給定的，如果ε不是給定的就無法確定δ（或N或X）的存在性.其實，給定一個ε就存在一個δ（或N或X），它們是對應的關系.δ（或N或X）是依賴ε而存在的，它們之間具有依賴性.另外，要交代清楚“ε”是任意小的正數，即定義中的“無論ε多么小”，意思就是:ε是“要多小就有多小，想多小就多小”的正數.
注重直觀教學、啟發式教學、漸進式教學及實踐教學有機結合的方式.如我們在高等數學中講授新內容時，一定要用直觀，易懂的實例進行解釋說明.每一個概念和結論，再從一個概念或結論得到啟發，引導學生思考更廣而深入的問題，從而對數學概念和結論有深刻的理解（我們稱這種教學為抓點）；講授新內容之前回憶復習上節的主要內容，課堂結束前，總結該節的內容，并預示下一節的內容；一段內容結束（如一章內容）之后，整體上再總結歸納這一大段中的主要內容，突出重點，加強影響，將前后內容連貫起來.這種往復式（循序漸進式）的有效總結和歸納對學生培養良好學習習慣是非常重要的（我們稱這一過程為提串），這一過程應貫穿教學整個過程.理論總結的同時針對每一個概念、結論和針對作業中存在的問題，做大量的具體題目的講解，及時解決問題和給予提醒.再加強學生的作業質量，要求學生獨立，足量完成.這部分工作主要在習題課上和作業中完成.一些主要概念和方法可以通過做實驗的方式進行：整個高等數學課結束之后，再進行一次總復習，這部分主要用課堂教學，完成綜合性比較好的數學實驗題目的結合進行（這兩部分是實踐教學）.這樣學生不僅能鞏固已學過的高等數學內容，提高高等數學水平，還能鍛煉科學思維方式，提高用數學和計算機解決實際問題的能力，養成良好的學習方法等，進行有益的實踐鍛煉。教學經驗顯示，以上談到的逐步、多層次重疊式（循序漸進式）教學和學習（我們稱抓點提串循序漸進再實踐的學習方法），對增強預科高等數學教學效果有很好的作用，成效顯著.
總之，函數極限概念是所有學習高等數學的學生接觸的第一個最基本的概念，也是高等數學中一個較難理解的概念.在極限概念的教學過程中，應注意由直觀到抽象，由特殊到一般，由舊引新，進而有效地分散難點，以便突破難點.
參考文獻：
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